Ciencias naturales básicas



Movimiento parabólico: fórmulas y ejercicios resueltos

El concepto de movimiento parabólico o tiro parabólico,  se aplica a un objeto, al que se le da una velocidad inicial con un ángulo de elevación y a continuación sigue una trayectoria determinada por la fuerza gravitacional y la resistencia de la atmósfera (figura 1). Galileo Galilei, fue el primero en analizar este tipo de movimiento.

Se debe aclarar que el vector que represente la velocidad inicial no puede ser horizontal (ni 0º, ni 180º). Tampoco vertical (ni 90º, ni 270º). Además, normalmente es un vector de posición. Es decir, ubicado en el origen del sistema de coordenadas.

movimiento parabólico
Figura 1.

El movimiento parabólico es un movimiento compuesto por dos componentes que se pueden analizar por separado.

Mientras el móvil avanza horizontalmente,  lo hace con movimiento rectilíneo uniforme, por lo que su velocidad horizontal es constante. El componente vertical cumple con las características de caída libre y lanzamiento vertical.

Componentes de la velocidad

movimiento parabólico

para el análisis de este tipo de movimiento, primero se hallan los componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial. Aplicando conceptos de trigonometría se tiene:

Componente x:  Vx = VoCosα (velocidad inicial por coseno del ángulo)

Componente y: Vy = VoSenα (velocidad inicial por seno del ángulo)

Análisis vertical en el movimiento parabólico

Mientras un objeto se mueve siguiendo la trayectoria del movimiento parabólico, este sube y baja. La subida responde a las características del lanzamiento vertical y la bajada, a las de caída libre. Por lo tanto se usan las mismas ecuaciones, pero en estas, se reemplaza la velocidad inicial vo por la velocidad en y (vy).

\[g={v_{f}-v_{f}\over t}\]
\[h=v_{o}t+{gt^{2}\over2}\]
\[v_{f}^2=v_{o}^2+2gh\]

De las anteriores expresiones, se derivan las fórmulas de movimiento parabólico más usadas. (ver tabla 1)

Movimiento parabólico

Análisis horizontal en el movimiento parabólico

El desplazamiento horizontal o alcance máximo, en este tipo de movimiento, está dado por la fórmula del movimiento rectilíneo uniforme, en la que se reemplaza la velocidad por la velocidad en x.

\[v_{x}={x\over t}\]

Donde x, es el desplazamiento. En consecuencia, el alcance máximo se calcula con la expresión:

\[x=v_{x}t\]

Ejemplo aplicado a movimiento de proyectiles

Un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 100 m/s, y un ángulo de 30°.

Calcular:

  • Altura máxima
  • Tiempo de subida
  • Tiempo de vuelo
  • Altura a 1,3 segundos del lanzamiento
  • Alcance máximo.

Solución:

Para realizar el ejercicio, se selecciona la fórmula adecuada, se reemplazan los valores y se realizan las operaciones.

Componente x:

\begin{eqnarray} v_{x}&=&v_{o}Cos\alpha\\ v_{x}&=&100m/s\times Cos30^\circ\\ v_{x}&=&100m/s\times 0.866\\ v_{x}&=&86.6m/s\\ \end{eqnarray}

Componente y:

\begin{eqnarray} v_{y}&=&v_{o}Sen\alpha\\ v_{y}&=&100m/s\times Sen30^\circ\\ v_{y}&=&100m/s\times 0.5\\ v_{y}&=&50m/s\\ \end{eqnarray}

Altura máxima:

\begin{eqnarray} h_{max}&=&{-v^{2}_y\over2g}\\ h_{max}&=&{-(50m/s)^2\over 2\times (-9.8m/s^2)}\\ h_{max}&=&{-2500m^2/s^2\over -19.6m/s^2}\\ h_{max}&=&127.55m\\ \end{eqnarray}

Tiempo de subida:

\begin{eqnarray} t_{s}&=&{-v_{y}\over g}\\ t_{s}&=&{-(50m/s)\over (-9.8m/s^2)}\\ t_{s}&=&5.1s\\ \end{eqnarray}

Tiempo total:

\begin{eqnarray} t_{t}&=&2\times t_{s}\\ t_{t}&=&2\times 5.1s\\ t_{t}&=&10.2s \end{eqnarray}

Altura a 1.3 segundos del lanzamiento:

\begin{eqnarray} h&=&v_{y}t+{gt^2\over 2}\\ h&=&50m/s\times 1.3s+{(-9.8m/s^2)\times (1.3s)^2\over 2}\\ h&=&65m-8.28m\\ h&=&56.72m\\ \end{eqnarray}

Alcance máximo:

\begin{eqnarray} x&=&v_{x}t\\ x&=&86.6m/s\times 10.2s\\ x&=&883.32m\\ \end{eqnarray}

Taller de lectura

  1. ¿A qué tipo de objeto se aplica el concepto de movimiento parabólico?
  2. ¿Qué características debe tener el vector que represente la velocidad inicial?
  3. Copie la figura 1.
  4. ¿Cómo se comporta un móvil con movimiento parabólico mientras avanza horizontal y verticalmente?
  5. Escriba las fórmulas para calcular los componentes x y y de la velocidad inicial.
  6. Copie la tabla 1.
  7. Escriba la expresión usada para hallar el alcance máximo.
  8. Copie el ejemplo con la solución.
  9. Un proyectil es lanzado con velocidad inicial de 115 m/s y ángulo de 40°. Calcular la altura máxima, el tiempo de subida, el tiempo total, altura a 1.02 segundos del lanzamiento y el alcance máximo.
Ejercicio 9 resuelto y explicado (video)