Ciencias naturales básicas



Potencial eléctrico y diferencia de potencial

Potencial eléctrico o simplemente potencial, es el valor de la energía potencial, por unidad de carga, en cualquier punto de un campo eléctrico. Se representa con la letra V. Por lo tanto, la fórmula de potencial eléctrico es:

\[V={U\over q}\tag{1}\]

Donde U es la energía potencial eléctrica y q es la carga de prueba

La energía y la carga son cantidades escalares. En consecuencia, el potencial eléctrico es una cantidad escalar. En el sistema internacional, las unidades del potencial eléctrico son Joule sobre Coulomb (J/C). No obstante, para abreviar, a un potencial de 1J/C se le denomina voltio. Esto, en homenaje a Alessandro Volta.

1V = 1J/C

Potencial eléctrico
Figura 1.

Por otro lado, el Joule es tanto una unidad de energía, como una unidad de trabajo (W). Entonces, el potencial se puede expresar en función del trabajo por unidad de carga y la fórmula (1) puede reescribirse como:

\[V={W_{AB}\over q}\tag{2}\]

Diferencia de potencial entre dos puntos

Si se conoce el potencial en un punto A (VA) y el potencial en un punto B (VB), la diferencia de potencial V entre los puntos (A y B), está dado por la expresión:

\[V=V_{A}-V_{B}\tag{3}\]

La palabra diferencia significa resta. Por ejemplo, si en el punto A el potencial es 30V y en el punto B, el potencial es de 22V, el potencial de A con relación a B es 30V – 22V = 8V. Así mismo, el potencial entre B con respecto a A, es 22V – 30V = -8V. A la diferencia de potencial entre dos puntos se le llama voltaje.

El concepto de voltaje es importante en el estudio de los fenómenos eléctricos y está íntimamente relacionado con nuestra vida diaria. Por ejemplo, en nuestras casas existen “tomas eléctricas de 220 voltios”. Esto significa que cada 1 Coulomb de carga que pasa por sus terminales, recibe 220 joule de energía.

El voltímetro es un instrumento que mide la diferencia de potencial entre los puntos que se conectan en sus terminales.

Cálculo de la diferencia de potencial

El cálculo de la diferencia de potencial entre dos puntos, se hace determinando el trabajo que realiza un campo eléctrico sobre una carga de prueba. Analicemos tres casos simples, pero importantes:

1 – Potencial eléctrico en un campo uniforme

Figura 2.

Primero, es necesario tener en cuenta que, en un campo uniforme, la fuerza eléctrica es igual en todos sus puntos. Además, un campo uniforme es limitado. Por ejemplo, puede estar limitado por dos placas paralelas separadas una distancia (d).

Entonces, si una carga +q se desplaza desde la placa A hasta la placa B (figura 2), el trabajo realizado por el campo es:

\[W_{AB}=F\cdot d\tag{4}\]

Aquí se utiliza la fórmula trabajo = fuerza por distancia.

Del mismo modo, Usando la fórmula de campo eléctrico E=F/q, se tiene que la fuerza eléctrica es F=qE. Reemplazando esta expresión en la ecuación (4) se tiene que:

\[W_{AB}=q\cdot E\cdot d\tag{5}\]

Al dividir el trabajo entre la carga q, se obtiene el voltaje (ver fórmula 2) Y de acuerdo con la fórmula (3), la expresión queda:

\[V_{A}-V_{B}=E\cdot d\tag{6}\]

o

\[V_{AB}=E\cdot d\tag{7}\]

En conclusión, en un campo eléctrico uniforme, el voltaje entre A y B depende de la intensidad del campo y de la distancia entre las placas.

2 – Potencial eléctrico de una carga puntual

Una carga puntual, es aquella carga eléctrica hipotética de dimensiones tan pequeñas, que puede considerarse un punto.

Como ya se anotó, en un campo uniforme, la fuerza eléctrica es uniforme. Por el contrario, en un campo NO uniforme, la fuerza varía mientras se desplaza con la carga. Como resultado, calcular el trabajo sobre una carga +q, no es tan simple como en el caso anterior, sino que se requiere del cálculo integral. Sin embargo, es posible obtener expresiones sencillas para solucionar problemas poco complejos. Una de esas expresiones es la siguiente:

\[V_{A}-V_{B}=k{Q\over r_{A}}-k{Q\over r_{B}}\tag{8}\]

Donde Q, es la carga que genera el campo y k es la constante de Coulomb. En cambio, rA y rB son las distancias desde los puntos A y B hasta dicha carga.

Si esta expresión se usa para determinar el voltaje entre el punto A y un punto B ubicado muy lejos de Q («en el infinito»), entonces, se reduce a:

\[V_{A}=k{Q\over r_{A}}\tag{9}\]

Porque el voltaje en B sería cero.

En esta relación se debe tener en cuenta el signo de la carga Q. Si es negativa, el potencial en el punto dado, tiene signo negativo.

Potencial en un campo formado por varias cargas

Si un punto p se encuentra en un campo formado por varias cargas puntuales, el potencial es la suma algebraica de los potenciales debidos a cada una de las cargas. Así mismo, el potencial en p, es relativo a otro punto ubicado en el infinito.

3 – Campo eléctrico de una esfera conductora

Una esfera cargada se comporta como si toda la carga estuviera concentrada en su punto central. Por tal razón, el potencial entre dos puntos externos a una esfera cargada se halla con la fórmula (8). En la misma línea, el potencial de un punto exterior, en relación con otro punto en el infinito, se calcula con la fórmula (9). Esta fórmula también es útil para hallar el potencial de un punto en la superficie de la esfera. No obstante, el potencial entre dos puntos ubicados al interior de la esfera siempre es cero. ¿Por qué? Porque en el interior de la esfera, el campo eléctrico es cero.

Es importante tener claro que, aunque en cualquier punto interno el campo es cero, el potencial no lo es. En otras palabras, los puntos al interior de una esfera cargada son equipotenciales.

Ejercicios resueltos de campo eléctrico

Ejercicio 1

Suponga que en el campo representado en la figura 2, las placas están separadas 0,5cm. Además el valor de dicho campo es E=1,2×105N/C. ¿Cuál es el valor del voltaje entre las placas?

Solución:

Primero, se representa la distancia en metros 0,5cm=0,005m. Después de eso, se reemplazan los valores en la fórmula (6) o (7). Aquí usamos la (7).

\begin{eqnarray} V_{AB}&=&1,2\times10^5\cdot0,005\\V_{AB}&=&600V\end{eqnarray}

En resumen, el potencial entre las placas es de 600 voltios

Potencial eléctrico
Figura 3. gráficos para los ejercicios 2, 3 y 4.

Ejercicio 2

Una carga puntual Q=2,5×10-7C, genera un campo eléctrico. Calcule los potenciales relativos al infinito, de 3 puntos A, B y C, cuyas distancias son rA=20cm; rB=60cm y rC=90cm. También, calcule el potencial de A con respecto a B. Ver figura 3.

Solución:

Para desarrollar el punto 1 del ejercicio, se representan las distancias en metros y, a continuación, se reemplazan los valores en la fórmula (9). Por lo tanto, rA=0,2m; rB=0,6m y rC=0,9m y los potenciales son:

\begin{eqnarray}V_{A}&=&9\times10^9\cdot{2,5\times10^{-7}\over0,2}\\V_{A}&=&11250V\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}V_{B}&=&9\times10^9\cdot{2,5\times10^{-7}\over0,6}\\V_{B}&=&3750V\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}V_{C}&=&9\times10^9\cdot{2,5\times10^{-7}\over0,9}\\V_{C}&=&2500V\end{eqnarray}

Para desarrollar el punto 2 del ejercicio, se aplica la fórmula (8). Pero, como ya se conocen los potenciales de A y B, simplemente se restan. Entonces, el procedimiento es:

\begin{eqnarray}V_{A}-V_{B}&=&11250V-3750V\\V_{A}-V_{B}&=&7500V\end{eqnarray}

En conclusión, la diferencia de potencial entre A y B, es 7500 voltios.

Ejercicio 3

Calcule el potencial, con relación al infinito, de un punto p ubicado en un campo eléctrico formado por 3 cargas puntuales (figura 3). Las cargas son: Q1=2×10-3C; Q2=-4×10-4C; Q3=3×10-5C. Así mismo, las distancias respectivas son: r1=20cm: r2=25cm: r3=15cm.

Solución:

Primero, se hallan los potenciales debidos a cada una de las cargas. Posteriormente, se hace la suma algebraica de ellos. Las distancias deben estar representadas en metros.

\begin{eqnarray}V_{1}&=&9\times10^9\cdot{2\times10^{-3}\over0,2}\\V_{1}&=&9\times10^{7}V\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}V_{2}&=&9\times10^9\cdot{-4\times10^{-4}\over0,25}\\V_{2}&=&-1,44\times10^{7}V\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}V_{3}&=&9\times10^9\cdot{3\times10^{-5}\over0,15}\\V_{3}&=&1,8\times10^{6}V\end{eqnarray}

El potencial en p (Vp) es la suma algebraica de los 3 potenciales:

\begin{eqnarray}V_{p}&=&V_1-V_2+V_3\\V_p&=&7,74\times10^7V\end{eqnarray}

En otras palabras, el potencial en p es 7,74×107 voltios.

Ejercicio 4

Dos cargas puntuales separadas 10 cm, forman un campo eléctrico. Sus valores son Q1=4×10-9C y Q2=-2×10-9C. Se coloca un punto A en medio de dichas cargas y un punto B, a 10cm de cada carga, formando un triangulo equilátero como muestra la figura 3. Calcule, primero, el campo en A. Segundo, el campo en B. Tercero, la diferencia de potencial entre A y B. Finalmente, calcule el valor del trabajo que realiza el campo, para llevar una carga de prueba q=2×10-9C, desde A hasta B.

Solución:

Primero, el campo en A es la suma de los campos debidos a las cargas. Entonces, el campo en A debido a la carga Q1, (VA1) es:

\begin{eqnarray}V_{A1}&=&9\times10^9\cdot{4\times10^{-9}\over0,05}\\V_{A1}&=&720V\end{eqnarray}

En la misma línea, el campo en A debido a la carga Q2, (VA2) es:

\begin{eqnarray}V_{A2}&=&9\times10^9\cdot{-2\times10^{-9}\over0,05}\\V_{A2}&=&-360V\end{eqnarray}

Como resultado, el campo en A (VA) es:

\begin{eqnarray}V_{A}&=&720V-360V\\V_{A}&=&360V\end{eqnarray}

Segundo, se procede de la misma forma para calcular el potencial en B.

\begin{eqnarray}V_{B1}&=&9\times10^9\cdot{4\times10^{-9}\over0,1}\\V_{B1}&=&360V\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}V_{B2}&=&9\times10^9\cdot{-2\times10^{-9}\over0,1}\\V_{B2}&=&-180V\end{eqnarray}

Entonces, el campo en B (VB) es:

\begin{eqnarray}V_{B}&=&360V-180V\\V_{B}&=&180V\end{eqnarray}

 tercero, la diferencia de potencial entre A y B, es VAB=VA-VB:

\begin{eqnarray}V_{AB}&=&360V-180V\\V_{AB}&=&180V\end{eqnarray}

Para terminar, se despeja el trabajo (WAB) de la fórmula (2) y se reemplazan los valores.

\begin{eqnarray}W_{AB}&=&V\cdot q\\W_{AB}&=&180\cdot2\times10^{-9}\\W_{AB}&=&3,6\times10^{-7}J\end{eqnarray}

No obstante, como el potencial en A es mayor que en B, la partícula de prueba va de un mayor nivel de energía a uno menor. En consecuencia, el trabajo es negativo y su valor es: -3,6×10-7J.

Taller de lectura

  1. ¿Qué es potencial eléctrico?
  2. ¿El potencial es una cantidad vectorial o escalar?
  3. ¿Cuáles son las unidades de potencial eléctrico?
  4. ¿A qué es igual 1 voltio?
  5. ¿A qué se le llama voltaje y, además, cuál es su importancia?
  6. ¿Qué es un voltímetro?
  7. Copie la figura 2.
  8. Escriba las 9 fórmulas y, además, escriba para qué sirve cada una.
  9. Copie la figura 3.
  10. Copie, con el procedimiento, los 4 ejercicios resueltos.