Péndulo simple. Fórmulas, leyes, aplicaciones y ejercicios

Un péndulo simple es un modelo ideal de un sistema más complejo. Consiste en un cuerpo de masa m, suspendido de un hilo inextensible y de masa despreciable en un campo gravitacional uniforme. Cuando el cuerpo se desvía de su posición de equilibrio y se libera, empieza a oscilar a lado y lado de esa posición. Sin embargo, para que dicha oscilación pueda definirse como movimiento armónico simple, la fuerza restauradora debe ser proporcional a la coordenada x. Pero esto solo se cumple, aunque no totalmente, para oscilaciones con ángulos menores o iguales a 15 grados.

Figura 1.

Fórmulas del péndulo simple

La figura 1A, muestra que se puede descomponer el peso (mg) del cuerpo en dos fuerzas. Por un lado, la fuerza mgcosθ que no tiene influencia en el movimiento, ya que solo equilibra la tensión de la cuerda. Por otro lado, la fuerza mgsenθ que es tangente a la trayectoria y es la que tiende a llevar el péndulo hacia la posición de equilibrio. Como se anotó arriba, para pequeños ángulos, la trayectoria del péndulo se aproxima a la coordenada x (figura 1B). En consecuencia, el seno del ángulo θ, se aproxima a (x/L). Entonces, la fuerza

\[F=-mgsen\theta\]

Puede expresarse como:

\[F=-\left({mg\over L}\right)x\tag1\]

Donde (mg/L) es constante. En estas condiciones, la fuerza restauradora cumple la condición de ser proporcional a x.

La fórmula para el periodo del péndulo es:

\[T=2\pi\sqrt{{L\over g}}\tag2\]

Como la frecuencia es inversa al periodo, entonces, la frecuencia corresponde a la expresión:

\[f={1\over2\pi}\cdot\sqrt{{g\over L}}\tag3\]

Figura 2.

Velocidad máxima

La velocidad máxima del péndulo se puede obtener aplicando el principio de conservación de la energía mecánica. En los extremos del movimiento, la energía mecánica es igual a la energía potencial. Sin embargo, en el punto de equilibrio la energía mecánica equivale a la energía cinética (figura 2). En consecuencia, si se igualan las dos expresiones, se puede despejar la velocidad. El procedimiento es el siguiente:

La fórmula para la energía potencial gravitacional es:

E_p = mgL(1 – cosθ)

¿Por qué? Ver explicación en la figura 2.

Además, la energía cinética se representa por:

E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}

Al igualar las dos expresiones y despejar la velocidad se tiene que la velocidad máxima es:

\[V_{max}=\sqrt{2gL(1-cos\theta)}\tag4\]

Leyes del péndulo simple

El periodo de un péndulo es independiente de su masa.
Para ángulos pequeños, el periodo es, también, independiente de la amplitud.

Con aceleración de gravedad constante, el periodo de un péndulo aumenta al aumentar su longitud.
Con longitud constante, el periodo de un péndulo disminuye al aumentar la aceleración de gravedad.

Aplicaciones del péndulo simple

Algunas aplicaciones del péndulo simple son: Primero, la medición del tiempo (en relojes de péndulo). Segundo, el metrónomo (En algunos modelos, al variar su longitud se obtiene el periodo deseado). Tercero, la plomada (usada en construcción permite, por ejemplo, levantar una pared paralela a su centro de equilibrio). Cuarto, el péndulo de Foucault, el cual se emplea para evidenciar la rotación de la Tierra. Quinto, el cálculo de la gravedad con un péndulo simple. A partir de la fórmula (2) se obtiene la ecuación para hacerlo.

g = \frac{4 π^{2} L}{T^{2}}

Péndulo simple ejercicios resueltos

Una masa de 0,12Kg, suspendida de una cuerda, forma un péndulo simple de 0,75m de longitud. Se separa de su punto de equilibrio, hasta que la cuerda forma un ángulo de 15 grados con respecto a la vertical y luego se libera (figura 1B). Con estos datos se debe calcular:

El módulo de la fuerza restauradora.
El periodo.

La frecuencia.
La velocidad máxima.
La aceleración de gravedad en el lugar donde está el péndulo.

Solución:

Primero, y de acuerdo con los datos, la fuerza restauradora se halla con la fórmula

F = –mgsenθ

Porque se conocen la masa, la gravedad y el ángulo. Por lo tanto, su valor es:

F = –0,12Kg × 9,8m/s² × sen15° = –0,3N

Es decir, el módulo de la fuerza es 0,3 Newton y el signo negativo indica que está orientada hacia la izquierda.

Para resolver los demás ejercicios, se aplican, respectivamente, las fórmulas 2, 3, 4 y 5. Por lo tanto, se reemplazan los valores y se realizan las operaciones en cada una de ellas.

Segundo, el periodo.

\[T=2\pi\sqrt{0,75m\over9,8m/s^{2}}=1,74s\]

Tercero, la frecuencia.

\[f={1\over2\pi}\cdot\sqrt{{9,8m/s^{2}\over0,75m}}=0,57Hz\]

Cuarto, la velocidad máxima.

\[V_{max}=\sqrt{2\cdot9,8\cdot0,75(1-cos15°)}=0,7\]

Es decir, la velocidad máxima del péndulo es 0,7m/s.

Quinto, la gravedad.

g = \frac{4 π^{2} \times 0.75 m}{{(1.74s)}^{2}} = {9.77m/s}^{2}

Taller de lectura

¿Qué es un péndulo simple?
¿Para qué ángulos se define la oscilación de un péndulo como movimiento armónico simple?
Copie las fórmulas 1, 2, 3 y 4. Además, escriba para qué se usa cada una.

Escriba las 4 leyes del péndulo simple.
Copie las 5 aplicaciones del péndulo simple.
Escriba la fórmula 5 y, también, para qué se usa.

Copie, con los procedimientos, los ejercicios resueltos de péndulo simple.