Ciencias naturales básicas



Movimiento armónico simple. Características, fórmulas y ejemplos

Movimiento armónico simple, es el movimiento repetitivo que describe un objeto a lado y lado de un punto de equilibrio, en intervalos iguales de tiempo. Sin embargo, no se puede definir este movimiento, sin tener en cuenta dos características del movimiento armónico simple. Primero, que se da bajo la acción de una fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento.  Segundo, que esta debe ser una fuerza conservativa. Es decir, que no participe ninguna fuerza disipativa, tal como la fuerza de rozamiento. Galileo estableció los principios fundamentales del movimiento armónico simple, analizando el movimiento de un péndulo. Un oscilador armónico es un cuerpo o sistema físico que describe un movimiento armónico simple.

Tipos de movimiento armónico

Además del movimiento armónico simple, existen otras dos clases de movimiento armónico. Por un lado, el movimiento armónico amortiguado, es propio de un oscilador sometido a fuerzas de rozamiento. Estas fuerzas son disipativas. En consecuencia, la energía total del oscilador va disminuyendo hasta detenerse. Este es el movimiento real que vemos a diario. Cuando ponemos en movimiento un péndulo, por ejemplo, este se detiene con el tiempo. Lo mismo ocurre al pulsar las cuerdas de un instrumento musical. Por otro lado, el movimiento armónico forzado, es el tipo de movimiento que a primera vista parece armónico simple. Sin embargo, está asociado a un sistema que aporta la energía necesaria para contrarrestar el rozamiento y mantener el movimiento. El péndulo de un reloj y el metrónomo, son ejemplos de este tipo de movimiento.

Movimiento armónico simple
Figura 1. amplitud en un movimiento armónico.

Descripción del movimiento armónico simple

La figura 2, muestra un resorte con un extremo unido a un punto fijo y el otro unido a un bloque. El bloque puede moverse sobre una superficie horizontal sin rozamiento. En su estado de reposo, el bloque se ubica en el punto O, llamado posición de equilibrio. Al estirar el resorte, este ejerce sobre el bloque una fuerza F, cuyo módulo es proporcional al desplazamiento x. Además, dicha fuerza siempre está orientada hacia el punto O. Al liberar el bloque, este empieza a oscilar entre los puntos x y -x.

Movimiento armónico simple
Figura 2.

Elementos de un oscilador armónico

Elongación: es el desplazamiento del cuerpo oscilante con respecto al punto de equilibrio O. Se representa con x.  Como el movimiento es simétrico con respecto al punto O, entonces, la distancia xO es igual a O-x (figura 2). Se mide en metros.

Amplitud: es la máxima elongación y se representa por A. Del mismo modo, la distancia AO es igual a O-A.

Periodo: es el tiempo que tarda el objeto en completar una oscilación. Se representa con T y se mide en segundos. Una oscilación es el movimiento que parte de uno de los extremos y regresa al mismo punto. También, el movimiento que, partiendo del punto de equilibrio, va a un extremo, luego al otro y regresa al punto O.

Frecuencia: es el número de oscilaciones que completa el objeto oscilante en la unidad de tiempo. Se representa con f y se mide en ciclos por segundo o Hertz.

Fuerza restauradora: es la fuerza elástica F, que tiende a llevar al móvil al punto de equilibrio. Es máxima en los extremos y nula en el punto de equilibrio. Su vector siempre se orienta al punto O. Esta fuerza no es constante, sino que es proporcional a x. Esta fuerza da origen a una aceleración que tiene sus mismas características. Además, a una velocidad que es nula en los extremos y máxima en el punto O.

Fórmulas del movimiento armónico simple

La fuerza restauradora es elástica. Es decir, del tipo definido en la ley de Hooke. Su fórmula es:

\[F=-kx\tag{1}\]

Donde k es la constante de recuperación y x es la elongación o distancia del objeto con respecto al punto de equilibrio. La fórmula demuestra que la fuerza es proporcional a la distancia  x.

De acuerdo con la segunda ley de Newton, se  puede deducir que la fórmula de aceleración para este tipo de movimiento es:

\[a={-kx\over m}\tag{2}\]

La fórmula de velocidad se puede obtener de la conservación de la energía en el movimiento armónico simple. Como la fuerza restauradora es conservativa,  se aplica la fórmula de la energía mecánica:

\[E=E_{p}+E_{c}\]

La fórmula anterior indica que la suma de las energías cinética y potencial en cualquier punto de la trayectoria, es igual a la energía mecánica del sistema. Por otro lado, la energía mecánica en los extremos es igual a la energía potencial elástica. En esos extremos, la  elongación máxima es igual a la amplitud A. En consecuencia, se tiene que:

\[{1\over2}kA^2={1\over2}kx^2+{1\over2}mv^2\]

Despejando la velocidad de la expresión anterior se tiene que:

\[v=\sqrt{{k\over m}}\cdot\sqrt{A^2-x^2}\tag{3}\]

De esta fórmula se concluye que cuando la elongación x es igual a la amplitud A, la velocidad es cero. Sin embargo, cuando la elongación x es cero, el móvil alcanza su máxima velocidad. Esto ocurre en el punto de equilibrio O.

La fórmula para calcular el periodo T se obtiene igualando la ecuación de la aceleración (2), con la ecuación de la aceleración angular. De esto resulta que:

\[T=2\pi\sqrt{{m\over k}}\tag{4}\]

La fórmula para la frecuencia, se halla teniendo en cuenta que el periodo es inverso a la frecuencia f. En consecuencia:

\[f={1\over2\pi}\sqrt{k\over m}\tag{5}\]

Ejercicios resueltos de movimiento armónico simple

Un bloque cuya masa es 0,35Kg, está sujeto a un resorte de constante de elasticidad de 4N/m. El sistema descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento (figura 2). El bloque se separa 20cm (0,2m) a la derecha de su punto de equilibrio y se libera. De acuerdo con la información responda:

    1. ¿Cuál es el valor de la amplitud?
    2. Calcular el valor de la fuerza cuando la elongación es igual a 0,15m y, además cuando es 0,05m.
    3. ¿Cuál es el valor de la aceleración al liberar el bloque?
    4. Calcular el valor de la velocidad cuando la elongación es 0,03m y, además, cuando la elongación es cero.
    5. Calcular el periodo y la frecuencia del sistema.

Solución:

Primero, la amplitud A, es igual a la máxima elongación x. Esta, a su vez, es la distancia que se desplazó inicialmente el bloque. Por lo tanto, la amplitud es 0,2m.

Segundo, se calcula la fuerza reemplazando la constante k (4N/m) y la elongación x. Para x=0,15m, la fuerza es:

\[F=-4N/m\cdot0,15m=-0,6N\]

El signo negativo indica que el bloque se encuentra a la derecha del punto de equilibrio. En consecuencia, el vector fuerza apunta hacia la izquierda.

Para x=0,05m, la fuerza es:

\[F=-4N/m\cdot0,05m=-0,2N\]

Tercero, al liberar el bloque, la elongación x, es 0,2m. entonces, la aceleración es:

\[a={-4N/m\cdot0,2m\over0,35Kg}=-2,28m/s^2\]

Cuarto, la velocidad cuando la elongación es 0,03m, es:

\begin{eqnarray} v&=&\sqrt{{4N/m\over0,35Kg}}\cdot\sqrt{(0,2m)^2-(0,03m)^2}\\ v&=&0,66m/s \end{eqnarray}

Cuando la elongación es 0,0m, el bloque está en el punto de equilibrio y la velocidad es:

\begin{eqnarray} v&=&\sqrt{{4N/m\over0,35Kg}}\cdot\sqrt{(0,2m)^2-(0,0m)^2}\\ v&=&0,67m/s \end{eqnarray}

Quinto, el periodo del sistema es:

\[T=2\pi\sqrt{{0,35Kg\over4N/m}}=1,85s\]

El periodo es de 1,85 segundos.

Finalmente, como la frecuencia es el inverso del periodo, se puede calcular con la expresión:

\[f={1\over1,85s}=0,54Hz\]

La frecuencia es de 0,54 ciclos/segundo o 0,54Hz. Este resultado es el mismo si se aplica la fórmula (5).

Taller de lectura

  1. Escriba la definición de movimiento armónico simple.
  2. ¿Qué es un oscilador armónico?
  3. Escriba la definición de movimiento armónico amortiguado y, además, la de movimiento armónico forzado.
  4. Defina cada uno de los elementos de un oscilador armónico.
  5. Copie las fórmulas numeradas de 1 a 5.
  6. Escriba, con el procedimiento, los ejercicios resueltos de movimiento armónico simple.