Ciencias naturales básicas



Notación científica. Representando y operando cantidades

En notación científica, una cantidad se escribe como una potencia de base 10, por un número cuyo valor absoluto, es menor que 10 pero mayor o igual a 1. 

Representación de la notación científica

Utilidad de la Notación científica

En la descripción del universo, los científicos se encuentran con cantidades muy grandes y muy pequeñas. La notación científica facilita la escritura y operación de estas cantidades y es, por tanto, una herramienta fundamental de las ciencias naturales o exactas.

Por ejemplo, el número de Avogadro corresponde a una unidad que contiene seiscientos dos mil trillones de partículas (átomos o moléculas). Es decir, 602,000,000,000,000,000,000,000. De otro lado, la masa es un electrón es 0.000000000000000000000000000000911 Kg. Pero, usando notación científica, estas cantidades quedan 6.02×1023 (átomos o moléculas) y 9.11×10-31 Kg. Así, es mucho más fácil leerlas, escribirlas y operarlas. 

El primer intento por representar números demasiado grandes, se le debe a Arquímedes

Representación de cantidades en notación científica

Para escribir un número grande en notación científica, fácilmente, se siguen 3 pasos. Primero, se escribe un punto decimal después del primer dígito. Segundo, cuentan las cifras que quedan después del punto. Tercero, ese número de cifras es el exponente de la potencia de base 10.

Para escribir el número 21053 en notación exponencial:

  • 2.1053 se escribe el punto decimal después del primer dígito.
  • 2.1053 se cuentan las cifras después del punto. En este caso son 4.
  • 2.1053×104 se escribe la potencia de base 10 con exponente 4.

Entonces 21053 es igual a 2.1053×104.

Nota. No es necesario escribir todas las cifras que quedan después del punto decimal. En notación exponencial, se acostumbra a usar, por lo general, 1, 2 o 3 decimales. Por ejemplo, el número 453 millones, en notación estándar es 453,000,000 y en notación exponencial se escribe 4.53×108.

Por otro lado, en notación científica, los exponentes negativos se usan para representar números muy pequeños. Sin embargo, el procedimiento es muy parecido al anterior.

Por ejemplo, para escribir 0.000078 en notación científica, primero, se mueve el punto decimal a la derecha de la primera cifra diferente de cero:

000007.8

Luego, se cuentan las posiciones que se movió el punto decimal. Esta cantidad será el exponente de la potencia de 10. En este caso, el punto se movió 5 lugares. Por lo tanto, el exponente es 5.

Entonces, 0.000078 es igual a 7.8×10−5.

Operaciones con notación científica

Para realizar operaciones con números en notación científica, los decimales se operan normalmente y las potencias se operan según las leyes de las potencias, resumidas en la tabla 1.

Notación científica
Tabla 1.

Ejemplos

Ejemplo 1: Para multiplicar 3.2×104 por 2.3×109, se multiplica (3.2 × 2.3 = 7.36). Después, para multiplicar las potencias, se escribe la base y se suman los exponentes (104 × 109 = 1013). Como resultado, 3.2×104 × 2.3×109 = 7.36×1013.

Ejemplo 2: Así mismo, para dividir 4.8×106 entre 1.2×104, se divide (4.8 ÷ 1.2 = 4). A continuación, para dividir las potencias, se escribe la base y se restan los exponentes (106 ÷ 104 = 102). Por lo tanto, 4.8×106 ÷ 1.2×104 = 4×102.

Ejemplo 3: En las operaciones de potenciación, se elevan los 2 factores a la potencia dada. Por ejemplo, en la operación (1.5×102)4, se eleva 1.5 a la cuarta potencia con lo que se obtiene 5.06. Luego, para elevar la potencia de base 10, se multiplican los exponentes (2×4). En consecuencia, el resultado es 5.06×108.

Ejemplo 4: Para desarrollar ejercicios de radicación, se obtiene la raíz de cada uno de los dos factores. Por ejemplo, si se tiene

\[\sqrt[3]{8\times10^{9}}\]

Se obtiene la raíz cúbica de 8 (que es 2). A continuación, para obtener la raíz cúbica de 109, se divide el exponente entre el índice del radical (9÷3). Por lo tanto, la respuesta es 2×103.

\[\sqrt[3]{8\times10^{9}}=2\times10^{3}\]

Acomodando respuestas a la definición

En algunos casos, después de hacer la operación, es necesario ajustar la respuesta para que sea acorde con la definición. 

Veamos ejemplos:

Ejemplo 5: 3.18×10-5 * 4.33×1015 = 13.769×1010. En este caso, se debe correr el punto un lugar a la izquierda, para obtener 1.3769. En otras palabras, se divide el número entre 10. Pero, para no alterar la cantidad, se multiplica, la potencia por 10, aumentando 1 a su exponente. Por lo tanto, la respuesta final es: 1.3769×1011.

Ejemplo 6: 4.58×1019 ÷ 5.36×1014 = 0.854×105. En esta ocasión, es necesario correr el punto un lugar a la derecha, para obtener 8.54. Es decir, se multiplica el número por 10. Se debe, entonces, dividir la potencia entre 10, restando 1 al exponente. La respuesta es: 8.54×104.

Suma y resta

En el caso de la suma y la resta, se presenta otro detalle. Las potencias deben tener el mismo exponente.

Ejemplo 7: Suponga la siguiente operación: 3.1×103 + 2.5×104 Recuerde que, para realizar la suma, las dos potencias deben tener el mismo exponente y este no es el caso. Entonces, se llevan las dos cantidades al exponente mayor. La cantidad 3.1×103, se transforma en 0.31×104. Como en los casos anteriores, al correr el punto a la izquierda, se está dividiendo el número entre 10 y para no alterar la cantidad, se multiplica la potencia por 10, aumentando 1 al exponente. Luego se realiza la operación: 0.31×104 + 2.5×104 = 2.81×104. El mismo procedimiento de lleva a cabo cuando se resta.

Taller de lectura

  1. ¿Qué es notación científica o exponencial?
  2. ¿Cuál es la utilidad de la notación exponencial?
  3. ¿Cómo se procede para representar números grandes en notación exponencial?
  4. ¿Cómo se procede para representar números pequeños en notación exponencial?
  5. Complete la siguiente tabla:
Representación de cantidades en notación exponencial.
  1. ¿Cómo se procede para realizar operaciones con números en notación científica?
  2. Copie la tabla 1: leyes de la potenciación.
  3. Realice los siguientes ejercicios:
Ejercicios con potencias de base 10.
  1. Aplicación:
    1. El mandarín, la principal lengua de China, es hablada por 844 millones de personas. Represente esta cantidad en notación exponencial.
    2. La distancia entre el Sol y la Tierra es de 150 millones de kilómetros. Represente esta cantidad en notación exponencial.