Fuerzas conservativas y conservación de la energía mecánica

Las fuerzas conservativas son aquellas cuyo trabajo, NO depende de la trayectoria del cuerpo sobre el cual actúan. El peso, la fuerza elástica de un resorte y la fuerza eléctrica, son ejemplos de fuerzas conservativas. La figura 1, muestra el trabajo realizado por el peso, cuando el cuerpo (c), cae desde A hasta B, por diferentes trayectorias.

Figura 1.

En contraste con las fuerzas conservativas, están las fuerzas no conservativas o disipativas. Estas se caracterizan porque no están asociadas a una energía potencial. Entonces, el trabajo que realizan, sobre un cuerpo en movimiento, no es independiente de la trayectoria. Además, parte de la energía mecánica se disipa en forma de calor. Las fuerzas de rozamiento constituyen el mejor ejemplo de estas fuerzas.

La característica principal de las fuerzas conservativas, es que siempre hay una energía potencial (gravitacional o elástica) asociada a ellas. Por lo tanto, el trabajo realizado por una de ellas, desde un punto A hasta un punto B, está dado por la expresión:

\[W_{AB}=E_{pA}-E_{pB}\tag1\]

Por otro lado, el trabajo también se relaciona con la variación de la energía cinética. Esta relación se expresa mediante la siguiente fórmula:

\[W_{AB}=E_{cB}-E_{cA}\tag2\]

Al igualar las ecuaciones (1) y (2) se tiene:

\[E_{pA}+E_{cA}=E_{pB}+E_{cB}\tag3\]

La suma de la energía cinética y la energía potencial en un punto dado, se conoce como energía mecánica (E). En otras palabras, la fórmula de la energía mecánica es:

\[E=E_{c}+E_{p}\tag4\]

Conservación de la energía mecánica

El teorema de la conservación de la energía mecánica, está inmerso dentro del principio de conservación de la energía. Principio que fue propuesto, inicialmente, por Mayer y Joule en el siglo XIX. Este teorema dice así: “Si solamente actúan fuerzas conservativas sobre un cuerpo en movimiento, su energía mecánica permanece constante en cualquier punto de su trayectoria”. En otras palabras, la suma de la energía cinética y la energía potencial, es igual en cualquier punto de la trayectoria. Por ejemplo, cuando un cuerpo cae desde un punto A hasta un punto B, su energía potencial disminuye, mientras su energía cinética aumenta. Pero, esto sucede de manera que la energía mecánica permanece constante. En consecuencia, la fórmula de conservación de la energía mecánica es:

E_A = E_B (5)

Esta fórmula es equivalente a la ecuación (3).

Ejercicios resueltos de fuerzas conservativas y conservación de la energía mecánica

Ejercicio 1

Se deja caer un cuerpo de masa m = 0,8Kg desde una altura h = 12m. (figura 1 numeral 1) ¿Cuál es el trabajo realizado por el peso del cuerpo, desde el inicio del movimiento hasta una altura h = 2m?

Solución:

El trabajo se calcula con la fórmula (1).

\[W_{AB}=E_{pA}-E_{pB}\]

Por lo tanto, se debe calcular la energía potencial en ambos puntos. Por otro lado, la fórmula de la energía potencial gravitacional es:

\[E_p=mgh\]

Entonces, la energía potencial en A es:

\[E_{pA}=0,8Kg\times9,8m/s^2\times12m\]

\[E_{pA}=94,08J\]

Además, la energía potencial en B es:

\[E_{pB}=0,8Kg\times9,8m/s^2\times2m\]

\[E_{pB}=15,68J\]

En consecuencia, el trabajo realizado por el peso sobre el cuerpo es:

\[W_{AB}=94,08J-15,68J=78,4J\]

Recuerde que g, corresponde a la aceleración de gravedad (g=9,8m/s²) y que la energía se mide en joule (J).

Figura 2.

Ejercicio 2

Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, con velocidad inicial v₀ = 4,5m/s. (figura 2A) ¿Qué altura alcanza el objeto?

Solución

Para resolver este tipo de ejercicios, se recomienda establecer las condiciones de energía al inicio y al final de la trayectoria.

En el punto A, la energía potencial es cero, porque en ese punto, la altura h es cero (la energía potencial depende de la altura). Por otro lado, la energía cinética en A, está determinada por la velocidad inicial. La fórmula de la energía cinética es:

\[E_c={1\over2}mv^2\]

Por lo tanto, en el punto A, la energía mecánica (ver ecuación (4)) es:

\begin{eqnarray} E&=&E_{c}+E_{p}\\ E&=&{1\over2}mv^2+0 \end{eqnarray}

En el punto B, la energía potencial depende de la altura h. sin embargo, la energía cinética es cero, porque en este punto, la velocidad del cuerpo es cero. La energía mecánica en el punto B es:

\begin{eqnarray} E&=&E_{c}+E_{p}\\ E&=&0+mgh \end{eqnarray}

Como la energía mecánica se conserva, se igualan las dos expresiones de acuerdo con la ecuación (3). A continuación, se despeja la altura.

\begin{eqnarray} E_{pA}+E_{cA}&=&E_{pB}+E_{cB}\\ 0+{1\over2}mv^2&=&mgh+0\\ {1\over2}mv^2&=&mgh\\ h&=&{v^2\over2g}\\ h&=&{(4,5m/s)^2\over2\times9,8m/s^2}=1,04m \end{eqnarray}

En conclusión, el cuerpo alcanza una altura de 1,04 metros.

Ejercicio 3

Una persona de masa m, se desplaza, sin roce, por un tobogán como indica la figura 2B. La persona, parte del reposo en el punto A, ubicado a 9,5 metros de altura. ¿Con qué velocidad llega al punto más bajo (punto B)?

Solución:

En el punto A, la energía potencial está dada por la altura h. Por otro lado, la energía cinética en A es cero, porque el cuerpo parte del reposo (velocidad inicial=0). Es decir, en el punto A, la energía mecánica (según ecuación (4)) es:

\[E=mgh+0\]

En el punto B, la energía potencial es cero, porque en ese punto la altura es cero. sin embargo, la energía cinética depende de la velocidad del cuerpo en ese punto. La energía mecánica en el punto B es:

\[E=0+{1\over2}mv^2\]

Como la energía mecánica se conserva, se igualan las dos expresiones de acuerdo con la ecuación (3). Después de eso, se despeja la velocidad.

\begin{eqnarray} E_{pA}+E_{cA}&=&E_{pB}+E_{cB}\\ mgh+0&=&0+{1\over2}mv^2\\ mgh&=&{1\over2}mv^2\\ v&=&\sqrt{2gh}\\ v&=&\sqrt{2\times9,8m/s^2\times9,5m}\\ v&=&13,64m/s \end{eqnarray}

En resumen, la persona llega al punto bajo del tobogán con una velocidad de 13,64 metros sobre segundo.

Ejercicio 4

Un bloque de masa m igual a 0,25Kg, está apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento (Ver figura 2C). Al mismo tiempo, comprime un resorte de constante elástica k, de 65N/m. El resorte está comprimido una distancia x de 0,12m, al momento de soltarlo. ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando abandona el resorte?

Solución:

Se usa el mismo procedimiento de los dos ejercicios anteriores. Sin embargo, aquí está resumido.

En el punto A, la energía cinética es cero y energía potencial está determinada por x. Además, la fórmula de la energía potencial elástica es:

\[E_p={1\over2}kx^2\]

En el punto B, la energía cinética es determinada por la velocidad y energía potencial es cero.

A continuación, se aplica la ecuación (3) y se despeja la velocidad.

\begin{eqnarray} E_{pA}+E_{cA}&=&E_{pB}+E_{cB}\\ {1\over2}kx^2+0&=&0+{1\over2}mv^2\\ v&=&\sqrt{{kx^2\over m}} \end{eqnarray}

Para terminar, se reemplazan los valores y se obtiene la respuesta.

\[V=\sqrt{{65N/m\times(0,12m)^2\over0,25Kg}}=1,93m/s\]

En resumen, el bloque deja el resorte a una velocidad de 1,93 metros sobre segundo.

Ejercicio 5

Un bloque de 1,5 kilogramos de masa, se desliza sobre una pista en forma de arco de circunferencia (ver figura 2D). Además, el radio de la pista es de 7 metros. El bloque parte del reposo en A y llega a B, con velocidad de 11 metros sobre segundo. Evaluar, si en el movimiento participan solo fuerzas conservativas o si, por el contrario, hay fuerzas disipativas.

Solución:

Si solo actúan fuerzas conservativas, entonces, la energía mecánica en A, debe ser igual a la energía mecánica en B.

En el punto A, la energía cinética es cero y la energía potencial depende de la altura establecida por el radio R. Por lo tanto, la energía mecánica en A, es:

\begin{eqnarray} E_A&=&0+mgh\\ E_A&=&1,5Kg\times9,8m/s^2\times7m\\ E_A&=&102,9J \end{eqnarray}

Mientras tanto, en el punto B, la energía potencial es cero, pero la energía cinética esta determinada por la velocidad con la que el bloque llega allí. Es decir, la energía mecánica en B es:

\begin{eqnarray} E_B&=&{1\over2}mv^2+0\\ E_B&=&{1\over2}\times1,5Kg\times(11m/s)^2\\ E_B&=&90,75J \end{eqnarray}

Como la energía mecánica en A, es diferente de la energía mecánica en B, se concluye que en el movimiento participaron fuerzas disipativas. Por ejemplo, fuerzas de rozamiento. El valor de la energía disipada es, por lo tanto, la diferencia de las energías mecánicas. es decir:

\[102,9J-90,75J=12,15J\]

En conclusión, se disiparon 12,15 joule de energía. Probablemente, en forma de calor.

Taller de lectura

¿Qué son fuerzas conservativas? Dé 3 ejemplos.
Escriba las 3 características de las fuerzas disipativas.

¿Cuál es la característica principal de las fuerzas conservativas?
Copie la fórmula 1, 2 y 3.
¿Qué es la energía mecánica?

Escriba la fórmula 4.
¿Qué dice el teorema de la conservación de la energía mecánica?
Escriba, con el procedimiento, los 5 ejercicios resueltos de fuerzas conservativas y conservación de la energía mecánica.