Ciencias naturales básicas



Gravitación universal. Enunciado, fórmula y ejemplos

La ley de gravitación universal es uno de los conceptos más importantes de la física.  Con ella, Newton demostró que las leyes que son válidas para los cuerpos en la tierra, son aplicables, también, al movimiento de los cuerpos celestes. En otras palabras, el principio por el que la tierra atrae a los cuerpos, es el mismo por el que se atraen el sol y la tierra. Además, es el mismo por el que se puede afirmar que entre dos cuerpos cualesquiera, existe una fuerza de atracción o fuerza gravitacional.

La caída de los cuerpos es algo que vemos a diario. En consecuencia, el hecho de que la tierra atraiga los cuerpos, es para nosotros un fenómeno natural ordinario. Pero, cuando nos dicen que los cuerpos también se atraen entre sí, nos resistimos a creerlo. ¿Por qué? Porque en las condiciones normales de nuestra vida no vemos nada semejante. Sin embargo, ha sido comprobado experimentalmente.

Enunciado de la ley de gravitación universal

Dos cuerpos cualesquiera, se atraen con una fuerza proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

En consecuencia, la fórmula de la ley de gravitación universal es:

\[F=G{Mm\over r^2}\]

De donde M y m, son las masas de los cuerpos; G, es la constante de gravitación universal y r, es la distancia que separa los cuerpos en cuestión.

En 1798, el físico inglés Henry Cavendish hizo dos grandes aportes a la ley de gravitación universal. Por un lado, ideó un experimento para demostrar la existencia de la fuerza gravitacional. Por otro lado, hizo posible el cálculo de la constante de gravitación.

gravitación universal
Figura 1.

Usando una balanza de torsión, equilibró dos pequeñas esferas de masas m1 y m2 en una barra horizontal (figura 1). Al acercar dos esferas más grandes (M1 y M2), encontró que la barra giraba produciendo torción en el hilo que la sostenía. De este modo demostró que existe una fuerza de atracción entre m1 y M1, así como entre m2 y M2, como Newton lo había previsto. Una vez logró medir la fuerza de atracción, fue posible calcular la constante de gravitación universal (G), cuyo valor es:

\[G=6,67\times10^{-11}{N.m^2\over Kg^2}\]

Newton demostró que, en la atracción entre dos cuerpos esféricos, todo sucede como si la masa de ellos estuviera concentrada en su punto central.

5 ejercicios resueltos de gravitación universal

1 – cálculo de la masa de la tierra

Una vez que Cavendish encontró el valor de la constante (G), pudo calcular la masa de la tierra. Por esta razón, se dice que Cavendish fue el primero en “pesar” la tierra. El procedimiento es el siguiente:

Considere una partícula de masa m, próxima a la superficie de la tierra. Además, M y R, son la masa y el radio de la tierra. La partícula es atraída por la tierra con una fuerza (F) que es, simplemente, el peso de la partícula. De acuerdo con la segunda ley de Newton, esta fuerza puede representarse como:

\[F=mg\]

Se reemplaza esta expresión en la fórmula de gravitación, se despeja (M) y reemplazan valores. El radio de la tierra es 6,37×106 metros.

\[mg=G{Mm\over R^2}\]
\[M={gR^2\over G}\]
\[M={9,8m/s^2\times(6,37\times10^6m)^2\over6,67\times10^{-11}{Nm^2\over Kg^2}}\]
\[M=5,97\times10^{24}Kg\]

Como resultado, la masa de la tierra es 5,97×1024 kilogramos.

2 – ¿A qué altura debe colocarse un satélite estacionario?

gravitación universal
Figura 2.

¿Qué es un satélite estacionario? Es aquel que, situado en el plano del Ecuador, gira junto con la tierra, tardando ambos, el mismo tiempo en dar una vuelta. En otras palabras, a un observador en la superficie de la tierra, le parecerá que está inmóvil. La figura 2 muestra el esquema del problema.

La tierra atrae al satélite generando una fuerza centrípeta cuya fórmula es:

\[F=m{v^2\over r}\]

Del mismo modo la fuerza gravitacional entre la tierra y el satélite es:

\[F=G{Mm\over r^2}\]

Para hallar la altura, se igualan las ecuaciones anteriores, se despeja h y, finalmente, se reemplazan los valores y se realizan los cálculos.

\[m{v^2\over r}=G{Mm\over r^2}\]

Como v=2πr/T, la expresión anterior puede escribirse como:

\[m{{\left(2\pi r\over T\right)^2}\over r}=G{Mm\over r^2}\]
\[m{{4\pi^2 r^2\over T^2}\over r}=G{Mm\over r^2}\]

Para continuar, se cancela m y se despeja r.

\[{4\pi^2 r\over T^2}=G{M\over r^2}\]
\[r=\sqrt[3]{{GMT^2\over4\pi^2}}\]

Sabiendo que r es R+h, se tiene que la expresión para la altura (h) es:

\[h=\sqrt[3]{{GMT^2\over4\pi^2}}-R\]

El periodo (T) de la tierra es de 24 horas. Sin embargo, en el sistema internacional, la unidad de tiempo es el segundo. Por lo tanto, al reemplazar los valores, dicho periodo es de 86400 segundos. Los otros datos a reemplazar en la ecuación anterior son la constante de gravitación universal (G), la masa de la tierra (M) y el radio de la tierra (R).

Después de realizar las operaciones se tiene que la altura a la que se debe colocar el satélite es 35856910,18 metros. Es decir, unos 35856,910 kilómetros. Esta distancia se puede aproximar a 36000 kilómetros.

3 – ¿Qué velocidad debe impartirse al satélite para que entre en órbita alrededor de la tierra?

Una vez el satélite está a la altura indicada, se le imparte una velocidad (v), tangente a la trayectoria que debe seguir. (ver figura 2). Para calcular esta velocidad, se igualan, como en el ejercicio anterior, la fuerza centrípeta y la fuerza de gravitación. Después de eso, se despeja la velocidad.

\[m{v^2\over r}=G{Mm\over r^2}\]
\[v=\sqrt{GM\over r}\]

Del ejercicio anterior se sabe que r es igual a R+h. Por lo tanto, r equivale a 43000 kilómetros o 4,3×107 metros. Este es el valor para reemplazar en la fórmula anterior.

En conclusión, la velocidad del satélite es de 3043 m/s. Es decir, unos 10900 km/h.

Figura 3. Satélite Sputnik 1. Primer satélite artificial. Lanzado el 4 de octubre de 1957.
4 – La estación espacial internacional (ISS) se mueve a una velocidad de 7667 m/s. ¿Cuál es el radio de su órbita?

Como en los dos ejercicios anteriores, se parte de la expresión que iguala la fuerza centrípeta y la fuerza gravitacional. Pero, en este caso se despeja r.

\[m{v^2\over r}=G{Mm\over r^2}\]
\[r={GM\over v^2}\]

Al reemplazar los valores y realizar las operaciones, se tiene que el radio orbital de la estación es de 6,77×106 metros. Es decir, unos 6770 kilómetros.

5 – ¿A qué altura se encuentra la estación espacial internacional?

La órbita de la estación es r=R+h (ver figura 2). Por lo tanto, la altura es h=r-R.

\[h=6,77\times10^6-6,37\times10^6=4\times10^5m\]

En resumen, la estación espacial está a unos 400 kilómetros de altura.

Comparando el radio de la órbita y la velocidad del satélite, con los de la estación espacial, se puede concluir que a mayor radio, menor es la velocidad.

¿Qué tan grande es la fuerza de atracción gravitacional?

La fuerza de atracción gravitacional es uno de los fenómenos físicos que fácilmente escapa a nuestros sentidos. Por un lado, porque puede ser tan pequeña que se hace totalmente imperceptible. Por otro lado, porque puede ser tan grande que su valor no se puede comparar con algo que podamos ver o imaginar a diario. Sin embargo, en todos los casos dicha fuerza depende fundamentalmente de la masa de los cuerpos. Los ejemplos siguientes ilustran los dos extremos.

6 – ¿Cuál es la fuerza de atracción entre dos personas de 60 kilogramos de masa cada una, si están separadas 2 metros?

Solución:

Se escribe la fórmula de la ley de gravitación universal, se reemplazan los datos dados y se realizan las operaciones.

\[F=G{Mm\over r^2}\]
\[F=6,67\times10^{-11}{60Kg\cdot60Kg\over (2m)^2}\]
\[F=6,67\times10^{-11}\cdot900=6\times10^{-8}N\]

Esta fuerza de atracción es apenas de 6 cienmillonésimas de Newton. En otras palabras, es apenas la fuerza necesaria para levantar un objeto cuya masa sea de 0,06 miligramos. En consecuencia, esta fuerza, aunque existe, no logra el efecto de atraer a las dos personas. Para hacerlo, es necesario que no exista ninguna fuerza de rozamiento que afecte a las personas. Es decir, algo así como ubicarlas en el vació. De todas maneras, no veríamos esta fuerza actuando como dos imanes, por ejemplo. El físico Yakov Pierelman escribió: “Se acercarían tan lentamente que tardarían unas 5 horas en juntarse”. Por tal razón, es que las fuerzas de atracción gravitacional son imperceptibles en objetos de poca masa.

7 – ¿Cuál es la fuerza de atracción entre el sol y la tierra?

La distancia entre el sol y la tierra es de 1,5×1011 metros. Además, su masa es 9,989×1030 Kilogramos. Al reemplazar estos datos y la masa de la tierra en la fórmula de gravitación universal se tiene:

\[F=6,67\times10^{-11}{5,97\times10^{24}\cdot9,989\times10^{30}\over (1,5\times10^{11})^2}\]
\[F=1,77\times10^{23}N\]

Esta fuerza es de unos 18 mil trillones de Newton. Los cables de acero, que se encuentran en el mercado, de una pulgada de diámetro, resisten tensiones cercanas a 380 kilo Newton. Por lo tanto, para igualar la fuerza de atracción gravitacional entre el sol y la tierra se requieren cuatrocientos sesenta mil billones de estos cables (460000000000000000) un número que difícilmente podemos imaginar.

En conclusión, las fuerzas de atracción gravitacional pueden ser tanto muy grandes como muy pequeñas.

Taller de lectura

  1. ¿Qué demostró Newton con la ley de gravitación universal?
  2. Escriba el enunciado de la ley de gravitación universal.
  3. Copie la fórmula de la ley de gravitación universal.
  4. ¿Cuáles fueron los aportes del físico inglés Henry Cavendish?
  5. Copie, con el procedimiento, los ejercicios resueltos 1 a 5. Además, realice las operaciones para probar que las respuestas dadas son verdaderas.
  6. ¿Por qué no se pueden percibir las fuerzas de atracción entre objetos pequeños?
  7. Copie, con el procedimiento, los ejercicios 6 y 7. Además, verifique los cálculos para ver que sean correctos.
  8. Calcule la fuerza de atracción entre la tierra y la luna. La distancia entre ellos es de 3,844×108 metros. Además, la masa de la luna es 7,349 × 1022 kg. ¿conoce o puede imaginar un objeto que pueda ejercer esa fuerza?