Ciencias naturales básicas



Segunda ley de Newton. Aplicaciones y ejercicios resueltos

La segunda ley de Newton es una de las leyes básicas de la mecánica. La mecánica es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos y sus causas. Un cuerpo se mueve cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre él, es diferente de cero. La segunda ley de Newton se utiliza en el análisis de movimientos próximos a la superficie de la Tierra y de los cuerpos celestes. Newton, por ejemplo, la usó para estudiar el movimiento de los planetas. A esta ley también se conoce como «ley fundamental de la dinámica»

Enunciado de la segunda ley de Newton

La aceleración, que un cuerpo adquiere, es directamente proporcional a la resultante de las fuerzas que actúan sobre él. Además, tiene la misma dirección y el mismo sentido que dicha resultante.

Explicación de la segunda ley de Newton

Imaginemos la siguiente situación: Se tiene un vehículo varado sobre una carretera horizontal (despreciemos cualquier rozamiento presente en el sistema). También hay 5 personas, cada una de las cuales, puede aplicar sobre el vehículo una fuerza de 100 Newton. Si una persona empuja el vehículo, le imprime una aceleración de 1.2 m/s2. Si dos personas empujan, la aceleración será de 2.4 m/s2. ¿Qué pasa si las otras personas participan? La figura 1 ilustra la situación con la tabla de valores y la gráfica.

Segunda ley de Newton
Figura 1. Segunda ley del movimiento de Newton.

La gráfica corresponde a la relación entre fuerza y aceleración (F=m×a). La pendiente de la gráfica es la constante de proporcionalidad de la relación, se representa con m y es la medida de la masa del cuerpo. Por lo tanto, la masa es el cociente entre la fuerza y la aceleración (m=F/a). La masa así obtenida, se llama masa inercial. Por esta razón, se utiliza la expresión “principio de masa”, como otro nombre de la segunda ley de Newton.

Fórmula de la segunda ley de Newton

La expresión matemática de la segunda ley de Newton es:

\[F=m\times a\]

Donde la fuerza (F) se mide en Newton N, la masa (m) en kilogramos Kg y la aceleración (a) en metros sobre segundo al cuadrado m/s2. Estas son unidades del sistema internacional.

Como resultado de lo anterior, se deducen otras ecuaciones de la segunda ley de Newton, para la masa y la aceleración.

\[m={F\over a}\]
\[a={F\over m}\]

Ejemplos de la segunda ley de Newton en la vida cotidiana

1 – Cuando un niño se mece en un columpio, la fuerza de tensión de las cuerdas que lo sostienen, hace que él oscile formando un arco. Esta fuerza se orienta hacia el origen de la cuerda y genera una aceleración llamada aceleración centrípeta. Mientras tanto, el peso atrae al columpio hacia abajo obligándolo a detenerse.

2 – Cuando una persona cambia de posición un mueble empujándolo. La fuerza aplicada hace que el mueble acelere y se mueva. Además, la fuerza de fricción aumenta el “esfuerzo” requerido.

3 – Cuando un conductor oprime el acelerador, aumenta la fuerza de tracción del vehículo. En consecuencia, este se acelera. Si oprime el freno, el vehículo adquiere una aceleración negativa, producto de la fuerza de fricción. Además, al mover el volante, se produce otro tipo de aceleración. La velocidad de un objeto incluye su rapidez y su dirección. Por lo tanto, al cambiar la dirección del objeto, estamos acelerándolo.

4 – Cuando cae el agua de una cascada, la gravedad ejerce una fuerza en el agua que hace que acelere hacia abajo. Entre más tarda en caer, más rápido se mueve.

5 – Cuando subimos un objeto a un camión usando un plano inclinado, le aplicamos fuerza para acelerarlo hacia arriba. Sin embargo, la fuerza debe ser suficiente para vencer la fricción y el componente del peso paralelo al plano.

La figura 2 ilustra los ejemplos anteriores.

Segunda ley de Newton
Figura 2. Ejemplos de la segunda ley de Newton en la vida cotidiana.

Aplicaciones de la segunda ley de Newton

La segunda ley de Newton se usa constantemente en física, en el análisis de gran número de problemas. Por ejemplo, en el movimiento de objetos en planos horizontales y planos inclinados. También, en el movimiento de cuerpos enlazados y en el análisis del péndulo simple entre otros movimientos. Los siguientes ejercicios están relacionados con estas aplicaciones.

Ejercicios resueltos de la segunda ley de Newton

Para resolver ejercicios de la segunda ley de Newton se recomienda seguir los siguientes pasos:

  • Realizar los esquemas de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos en el sistema.
  • Hallar los componentes x y y de las fuerzas que lo necesiten.
  • Hacer la sumatoria de los componentes calculados en el punto anterior.
  • A partir de las sumatorias, resolver las ecuaciones que respondan a las preguntas planteadas.
Primer ejercicio: (Empecemos con un ejercicio muy sencillo)

Un bloque cuya masa es 10Kg, se desplaza sobre una superficie horizontal, bajo la acción de una fuerza de 5N paralela a la superficie. Calcular la aceleración del bloque si la fricción es de 1,2N

Solución:

la figura 3 muestra el esquema del ejercicio y el diagrama de cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre muestra la fuerza F orientada hacia la derecha (sobre el eje x) y la fricción f, hacia la izquierda. Del mismo modo, la fuerza normal N hacia arriba (eje y) y el peso mg hacia abajo.

Figura 3.

Sumatoria de fuerzas

✔La sumatoria de fuerzas en el eje x es:

\[\Sigma_x=F-f\]

✔Además, la sumatoria de fuerzas en el eje y es:

\[\Sigma_y=N-mg=0\]

Es decir, como el bloque no se mueve verticalmente, N es igual a mg.

Ecuaciones a utilizar:

Para este ejercicio solo se necesita calcular la fuerza resultante R (Σx) y la ecuación de la segunda ley de Newton para la aceleración. Se reemplazan los valores y se hace el cálculo:

\begin{eqnarray} R&=&F-f\\ R&=&5N-1,2N\\ R&=&3,8N \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} a&=&{R\over m}\\ a&=&{3,8N\over 10Kg}\\ a&=&{0,38m/s^2} \end{eqnarray}

En conclusión, la aceleración del bloque es 0,38 metros sobre segundo al cuadrado.

Segundo ejercicio: (con coeficiente de rozamiento)

Un bloque cuya masa es 12Kg, se desplaza sobre una superficie horizontal, bajo la acción de una fuerza de 74,5N paralela a la superficie. Calcular la aceleración del bloque si el coeficiente de rozamiento es μ=0,3.

Solución:

la figura 4 muestra el esquema del ejercicio y el diagrama de cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre muestra la fuerza F orientada hacia la izquierda (sobre el eje x) y la fricción f, hacia la derecha. Del mismo modo, la fuerza normal N hacia arriba (eje y) y el peso mg hacia abajo.

Figura 4.

Sumatoria de fuerzas:

Este ejercicio tiene un detalle importante. Aunque la fuerza aplicada F esté orientada hacia la izquierda, su signo es positivo. ¿Por qué? Porque todas las fuerzas que tengan el mismo sentido de la aceleración se asumen como positivas. Por lo tanto, la sumatoria de las fuerzas en x sigue siendo:

\[\Sigma_x=F-f\]

Por otro lado, la sumatoria de las fuerzas en el eje y es:

\[\Sigma_y=N-mg=0\]

Es decir, como el bloque no se mueve verticalmente, N es igual a mg.

Ecuaciones a utilizar:

Otro detalle en este ejercicio. Para calcular la sumatoria en x, primero se debe calcular la fuerza de fricción f. Para esto, se usa la fórmula:

\[f=\mu N\]

Pero, como N es igual a mg, también se puede escribir:

\[f=\mu mg\]

Entonces, la fuerza de fricción es:

\begin{eqnarray} f&=&\mu mg\\ f&=&0,3\times12Kg\times9,8m/s^2\\ f&=&35,28N \end{eqnarray}

Finalmente, la sumatoria de las fuerzas en x es:

\begin{eqnarray} \Sigma_x&=&F-f\\ \Sigma_x&=&74,5N-35,28N\\ \Sigma_x&=&39,22N \end{eqnarray}

En otras palabras, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el bloque es R=39,22N. Y la aceleración es:

\begin{eqnarray} a&=&R\over m\\ a&=&39,22N\over12Kg\\ a&=&3,268m/s^2 \end{eqnarray}

En resumen, la aceleración del bloque es 3,268 metros sobre segundo al cuadrado.

Tercer ejercicio: ¿Si las fuerzas no son paralelas al plano?

Un bloque cuya masa es 8Kg, se desplaza sobre una superficie horizontal, bajo la acción de una fuerza de 90N, aplicada con un ángulo de 30 grados sobre la horizontal. Calcular la aceleración del bloque, si el coeficiente de rozamiento es μ=0,2.

Solución:

la figura 5 muestra el esquema del ejercicio y el diagrama de cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre muestra la fuerza F con un ángulo de 30º. En consecuencia, esta fuerza tiene un componente sobre el eje x (Fcos30º) que es el responsable de la aceleración del bloque, por ser paralela a la superficie de desplazamiento. Del mismo modo, F tiene un componente en el eje y (Fsen30º) orientada hacia arriba, que se debe tener en cuenta para calcular la normal N. Además, muestra la fricción f, hacia la izquierda, la fuerza normal N hacia arriba y el peso mg hacia abajo.

Figura 5.

Sumatoria de fuerzas:

✔ Sumatoria de fuerzas en el eje x:

\[\Sigma_x=Fcos30º-f\]

✔ Sumatoria de fuerzas en el eje y:

\[\Sigma_y=N+Fsen30º-mg=0\]

De esta sumatoria se despeja N, para poder calcular f posteriormente.

\begin{eqnarray} N+Fsen30º-mg&=&0\\ N&=&mg-Fsen30º\\ N&=&8Kg\times9,8m/s^2-90N\times0,5\\ N&=&78,4N-45N\\ N&=&33N \end{eqnarray}

La normal vale 33 Newton.

En consecuencia, la fuerza de fricción f es:

\begin{eqnarray} f&=&\mu N\\ f&=&0,2\times33N\\ f&=&6,6N \end{eqnarray}

Finalmente, la aceleración del bloque se calcula con la sumatoria de las fuerzas en x y la fórmula de la aceleración:

\begin{eqnarray} \Sigma_x&=&Fcos30º-f\\ \Sigma_x&=&90N\times0,866-6,6N\\ \Sigma_x&=&77,94N-6,6N\\ \Sigma_x&=&71,34N \end{eqnarray}

En un plano o superficie horizontal, la resultante de las fuerzas R, corresponde a la sumatoria de las fuerzas en x. Por lo tanto, la aceleración es:

\begin{eqnarray} a&=&R\over m\\ a&=&71,34N\over8Kg\\ a&=&8,9175m/s^2 \end{eqnarray}
Cuarto ejercicio: Con 2 cuerpos enlazados

Un bloque cuya masa es 15Kg, se mueve sobre una superficie horizontal unido por una cuerda, a otro cuerpo de masa igual a 9Kg. La cuerda es de masa despreciable y pasa por una polea sin rozamiento. Si la fricción es de 2N, calcular la aceleración del sistema y, además, la tensión de la cuerda que une los cuerpos.

Solución:

En la figura 5 se muestra el esquema del ejercicio y los diagramas de cuerpo libre (uno para cada cuerpo).

El diagrama de cuerpo libre para el bloque 1, muestra la fricción f hacia la izquierda y la tensión T hacia la derecha en el eje x. Del mismo modo, muestra la normal N hacia arriba y el peso m1g hacia abajo en el eje y.

Por otro lado, el diagrama de cuerpo libre para el bloque 2, muestra la tensión T hacia arriba y el peso m2g hacia abajo en el eje y.

Segunda ley de Newton
Figura 6.

Sumatoria de fuerzas.

Se realiza la sumatoria de fuerzas para cada cuerpo por separado.

Por lo tanto, se inicia con la sumatoria para el cuerpo 1.

\begin{eqnarray} \Sigma_x&=&T-f=m_{1}a\\ \Sigma_y&=&N-m_{1}g=0 \end{eqnarray}

Sumatoria del cuerpo 2

\begin{eqnarray} \Sigma_x&=&0\\ \Sigma_y&=&m_{2}g-T=m_{2}a \end{eqnarray}
Operaciones necesarias:

Como debemos calcular la tensión y la aceleración, se buscan las fórmulas que tengan estas variables. Como resultado, tenemos un sistema de ecuaciones de 2 por 2 (2 ecuaciones, 2 incógnitas). En este caso, esas ecuaciones son:

\begin{eqnarray} T-f&=&m_{1}a~~(1)\\ m_{2}g-T&=&m_{2}a~~(2) \end{eqnarray}

Este sistema se resuelve por alguno de los métodos existentes. Aquí se utiliza el método de igualación.

Primero, se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. En este caso se puede despejar, por ejemplo, T.

Entonces, de la ecuación (1) tenemos:

\begin{eqnarray} T-f&=&m_{1}a\\ T&=&m_{1}a+f~~(3) \end{eqnarray}

Y de la ecuación (2)

\begin{eqnarray} m_{2}g-T&=&m_{2}a\\ T&=&m_{2}g-m_{2}a~~(4) \end{eqnarray}

Después de eso, se igualan las ecuaciones (3) y (4) y se despeja la aceleración.

\begin{eqnarray} m_{1}a+f&=&m_{2}g-m_{2}a\\ m_{1}a+m_{2}a&=&m_{2}g-f\\ a(m_{1}+m_{2})&=&m_{2}g-f\\ a&=&m_{2}g-f\over (m_{1}+m_{2}) \end{eqnarray}

A continuación, se reemplazan los valores en esta ecuación y se realizan las operaciones.

\begin{eqnarray} a&=&m_{2}g-f\over (m_{1}+m_{2})\\ a&=&9Kg\times9,8m/s^2-2N\over (15Kg+9Kg)\\ a&=&88,2N-2N\over (24Kg)\\ a&=&86,2N\over (24Kg)\\ a&=&3,59m/s^2 \end{eqnarray}

Para terminar el ejercicio, se calcula la tensión a partir de la ecuación (3) o (4)

\begin{eqnarray} T&=&m_{1}a+f\\ T&=&15Kg\times3,59m/s^2+2N\\ T&=&53,85N+2M\\ T&=&55,85N \end{eqnarray}

En conclusión, la aceleración del sistema es 3,59m/s2 y la tensión de la cuerda es 55,85 Newton.

Quinto ejercicio (Plano inclinado)

Calcular la aceleración de un bloque de 1,75Kg de masa situado sobre un plano inclinado 30º. Entre el plano y el bloque hay un coeficiente de rozamiento cuyo valor es μ=0,1.

Solución:

La figura 7 muestra el esquema del sistema con el diagrama de cuerpo libre.

Figura 7.

De acuerdo con el planteamiento del ejercicio, sobre el bloque actúan dos fuerzas. El peso y la fricción. La fricción f está orientada hacia arriba paralela al plano y sobre el eje x. Por otro lado, el peso mg está orientado verticalmente hacia abajo. Sin embargo, de esta fuerza se pueden obtener dos componentes: uno sobre el eje x (mgsen30º) y otro sobre el eje y (mgcos30º). En consecuencia, la sumatoria de fuerzas es:

\[\Sigma_x=mgsen30º-f=ma\]
\[\Sigma_y=N-mgcos30º=0\]

Se utiliza la sumatoria de fuerzas en y, para calcular la normal N. Este cálculo es necesario para obtener la fuerza de fricción f. Por lo tanto, de la fórmula

\[N-mgcos30º=0\]

se obtiene

\begin{eqnarray} N-mgcos30º&=&0\\ N&=&mgcos30º\\ N&=&1,75Kg\times9,8m/s^2\times0,866\\ N&=&14,85N \end{eqnarray}

Después de eso, se obtiene el valor de f.

\begin{eqnarray} f&=&\mu N\\ f&=&0,1\times14,85N\\ f&=&1,485N \end{eqnarray}

Para terminar, se obtiene la aceleración del bloque. Para eso se usa la sumatoria de fuerza en x.

\begin{eqnarray} mgsen30º-f&=&ma\\ a&=&mgsen30º-f\over m\\ a&=&1,75Kg\times9,8m/s^2\times0,5-1,485N\over 1,75Kg\\ a&=&4,05m/s^2 \end{eqnarray}

El bloque se desliza por el plano con una aceleración de 4,05 metros sobre segundo al cuadrado.

Taller de lectura

  1. ¿Qué es la mecánica?
  2. Escriba el enunciado de la segunda ley de Newton.
  3. Escriba la fórmula de la segunda ley de Newton y, además, las ecuaciones para la masa y la aceleración.
  4. Copie los ejemplos de la segunda ley de Newton en la vida cotidiana.
  5. Escriba los pasos que se siguen para resolver ejercicios de la segunda ley de Newton.
  6. Copie 3, de los ejercicios resueltos de la segunda ley de Newton, con esquemas y procedimientos.