Ciencias naturales básicas



Choques elásticos e inelásticos con fórmulas y ejercicios resueltos

Los choques elásticos e inelásticos, son los dos tipos de choque que se estudian en física mecánica. Esta clasificación está relacionada con la conservación de la energía cinética antes y después de la colisión. Por otro lado, los choques también se pueden diferenciar, en choques unidimensionales y choques bidimensionales. El físico Edme Mariotte hizo grandes aportes al estudio de este tema.

Choques

Consideraciones previas

Cuando estalla una bomba o cuando dos objetos colisionan, aparecen entre los cuerpos fuerzas muy intensas pero que actúan durante intervalos muy breves de tiempo. Dichas fuerzas producen, también, grandes aceleraciones. Estas fuerzas se denominan fuerzas impulsivas y son las que están involucradas en las colisiones.

Esta aclaración es importante porque, en ausencia de fuerzas externas, las fuerzas impulsivas son además conservativas. En consecuencia, en cualquier choque hay conservación de la cantidad de movimiento. Entonces, la cantidad de movimiento de un sistema de cuerpos que chocan, es inmediatamente antes de la colisión, igual a la cantidad de movimiento inmediatamente después del choque. Este enunciado se puede expresar mediante la siguiente fórmula.

\begin{equation}m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}=m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}\tag{1}\end{equation}

Donde A y B, son los cuerpos que chocan. Sus masas se representan con m y sus velocidades con v. Además, los números 1 y 2, indican las velocidades antes y después de la colisión.

Choques unidimensionales y bidimensionales

Choques unidimensionales o directos, son aquellos en los que el movimiento de los cuerpos ocurre sobre una misma recta antes y después de la colisión. Por otra parte, los choques bidimensionales u oblicuos, se caracterizan porque los cuerpos se mueven en diferentes direcciones antes y después de la colisión. Es importante tener en cuenta que la cantidad de movimiento es una cantidad vectorial. Por lo tanto, saber si un choque es directo u oblicuo, determina la técnica de suma de vectores que se debe utilizar. En choques oblicuos, por ejemplo, es frecuente usar la técnica de suma analítica de vectores.

Choques elásticos o totalmente elásticos

Son aquellos en los que la cantidad de energía cinética se conserva. Es decir, la cantidad de energía cinética antes de la colisión, es igual a la cantidad de energía cinética después de la colisión.  La siguiente fórmula ilustra dicha situación:

\[{1\over2}m_{A}v_{A1}^2+{1\over2}m_{B}v_{B1}^2={1\over2}m_{A}v_{A2}^2+{1\over2}m_{B}v_{B2}^2\tag{2}\]

Como en la fórmula (1), A y B son los cuerpos que chocan, mientras que, 1 y 2 indican sus velocidades antes y después de la colisión.

Conociendo las masas y las velocidades iniciales, se puede plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, usando las fórmulas (1) y (2). De esta manera, se obtienen expresiones para calcular las velocidades finales de los cuerpos que colisionan. Así, la velocidad final de un cuerpo A (vA2), es:

\[v_{A2}={2m_{B}v_{B1}+v_{A1}(m_{A}-m_{B})\over m_{A}+m_{B}}\tag{3}\]

Del mismo modo, la fórmula para la velocidad final de un cuerpo B (vB2), es:

\[v_{B2}={2m_{A}v_{A1}-v_{B1}(m_{A}-m_{B})\over m_{A}+m_{B}}\tag{4}\]

En los choques elásticos, los cuerpos no sufren deformaciones permanentes durante el impacto.

Soluciones por intuición

En los choques elásticos de tipo directo o unidimensional, pueden presentarse algunas situaciones que se pueden resolver intuitivamente.

Primero, un cuerpo A colisiona con un cuerpo B de igual masa pero que está en reposo. En este caso, el cuerpo que choca se detiene y el otro adquiere la velocidad que tenía el primero.

\[v_{A2}=0\quad y \quad v_{B2}=v_{A1}\]

Segundo, si dos objetos A y B, con velocidades opuestas e igual masa colisionan, Los objetos rebotan e intercambian velocidades.

\[v_{A2}=v_{B1}\quad y \quad v_{B2}=v_{A1}\]

Tercero, Un cuerpo pesado, choca con un cuerpo liviano que está en reposo. Entonces, la velocidad final del objeto pesado tiende a ser igual a su velocidad inicial.

Cuarto, si un cuerpo ligero choca con un cuerpo más pesado que está en reposo, el más pesado permanece en reposo. Mientras tanto, el cuerpo liviano rebota y mantiene su rapidez, pero en sentido contrario.

En los dos últimos casos, la diferencia entre las masas de los cuerpos debe ser notable.

Choques inelásticos o totalmente inelásticos

Son aquellos en los que los cuerpos que chocan quedan unidos y se mueven como uno solo después del choque. En consecuencia, la fórmula de conservación de la cantidad de movimiento puede escribirse como:

\[m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}=(m_{A}+m_{B})v_{2}\tag{5}\]

V2 es la velocidad del sistema después del choque y la expresión para calcularla es:

\[v_{2}={m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}\over m_{A}+m_{B}}\tag{6}\]

En este tipo de colisiones la energía cinética no se conserva. Parte de ella se usa en la deformación de alguno de los cuerpos o se disipa en forma de calor u otra forma de energía.

Ejercicios resueltos de choques elásticos e inelásticos

Ejercicio 1 (ayuda audiovisual aquí)

Una esfera A, de 2gr de masa, que se mueve con velocidad de 1.2m/s, choca con una esfera B, de 3 gramos de masa que se halla en reposo. Después del choque, las esferas se mueven sobre la misma recta. Responda si el choque es elástico o inelástico. También, si es unidimensional o bidimensional. Además, escriba si se conserva o no, la cantidad de movimiento y la energía cinética. Finalmente, calcule las velocidades de las esferas luego del choque y dibuje el esquema.

Solución:

Las respuestas a las primeras preguntas son: primero, el choque es elástico porque no se informa que los cuerpos se mueven juntos después de la colisión. Segundo, el choque es unidimensional, porque el enunciado dice que las esferas se mueven sobre la misma recta. Tercero, la cantidad de movimiento se conserva, porque esto ocurre en cualquier tipo de choque. Además, la energía cinética se conserva, porque esto es propio de un choque elástico. Por otro lado, la conservación de ambas cantidades se puede demostrar mediante los cálculos.

Las operaciones

Para terminar, las velocidades finales de las esferas se calculan usando las fórmulas (3) y (4). Para esto, inicialmente se escriben los datos del ejercicio:

Masa de la esfera A (mA) = 2gr = 0,002Kg

Velocidad inicial de la esfera A (vA1) = 1,2m/s

Masa de la esfera B (mB) = 3gr = 0,003Kg

Velocidad inicial de la esfera B (vB1) = 0

Después de eso, se escriben las fórmulas, se reemplazan los valores y se hacen las operaciones. Así, la velocidad final de la esfera A (VA2) se halla con la fórmula (3):

\[v_{A2}={2m_{B}v_{B1}+v_{A1}(m_{A}-m_{B})\over m_{A}+m_{B}}\]

Como la velocidad inicial de la esfera B (vB2) es cero, se puede omitir el primer término del numerador y, entonces, la fórmula queda:

\begin{eqnarray}v_{A2}&=&{v_{A1}(m_{A}-m_{B})\over m_{A}+m_{B}}\\ v_{A2}&=&{1,2\times(0,002-0,003)\over0,002+0,003}\\ v_{A2}&=&-0,24m/s \end{eqnarray}

La velocidad negativa indica que luego del choque, la esfera A retrocede.

Del mismo modo, la velocidad final de la esfera B (vB2), se calcula con la fórmula (4).

\[v_{B2}={2m_{A}v_{A1}-v_{B1}(m_{A}-m_{B})\over m_{A}+m_{B}}\]

Como ya se anotó, la velocidad inicial de la esfera B es cero y, entonces, en la fórmula se puede omitir el segundo término del numerador. Por lo tanto, la fórmula queda:

\begin{eqnarray} v_{B2}&=&{2m_{A}v_{A1}\over m_{A}+m_{B}}\\ v_{B2}&=&{2\times0,002\times1,2\over 0,002+0,003}\\ v_{B2}&=&0,96m/s \end{eqnarray}

Finalmente, la figura 2 muestra el esquema del ejercicio.

Choques
Figura 2. Esquema ejercicio 1.

Ejercicio 2 (ayuda audio visual aquí)

Una esfera A de masa mA=5Kg, se mueve sobre el eje x con una velocidad vA1=2,5m/s. Choca con una esfera B de masa mB=3Kg que está inicialmente en reposo. Después del choque, la esfera A adquiere una velocidad vA2=1,3m/s y su dirección forma un ángulo de 30° con relación al eje x. ¿Cuál es la velocidad de la esfera B?

Solución

Este choque es elástico y bidimensional. La solución requiere dos pasos. Primero, se hallan los componentes rectangulares de la cantidad de movimiento, resolviendo la fórmula (1) para el eje x y luego para el eje y. En consecuencia, es necesario recordar que los componentes rectangulares de un vector (v) son: (x = vcosϴ) y (y = vsenϴ). Segundo, se usa teorema de Pitágoras y la función (tan-1) para responder las preguntas planteadas.

La fórmula (1) para x queda:

\[m_{A}v_{A1x}+m_{B}v_{B1x}=m_{A}v_{A2x}+m_{B}v_{B2x}\]

Al reemplazar los valores se tiene:

\begin{eqnarray} 5\cdot2,5\cdot cos0^\circ+0&=&5\cdot1,3\cdot cos30^\circ+3\cdot v_{B2x}\\ 12,5+0&=&5,63+3\cdot v_{B2x}\\ \end{eqnarray}

Entonces, el componente x de la velocidad final de la esfera B (vB2x) es:

\[v_{B2x}={12,5-5,63\over3}=2,29m/s\]

Del mismo modo, la fórmula (1) para y es:

\[m_{A}v_{A1y}+m_{B}v_{B1y}=m_{A}v_{A2y}+m_{B}v_{B2y}\]

Ahora, se reemplazan los valores.

\begin{eqnarray} 5\cdot2,5\cdot sen0^\circ+0&=&5\cdot1,3\cdot sen30^\circ+3\cdot v_{B2y}\\ 0+0&=&3,25+3\cdot v_{B2y}\\ \end{eqnarray}

Finalmente, el componente y de la velocidad final de la esfera B (vB2y) es:

\[v_{B2y}={-3,25\over3}=-1,08m/s\]

A continuación, se obtiene el módulo de la velocidad final de la esfera B (vB2).

\[v_{B2}=\sqrt{2,29^2+(-1,08)^2}=2,53m/s\]

Para terminar se halla la dirección del vector resultante.

\[tan^{-1}\left({-1,08\over2,29}\right)=-25,24^\circ\]

En conclusión la velocidad de la esfera B, es de 2,53 metros por segundo y, además, su dirección forma un ángulo de -25,24 grados con relación al eje x.. La figura 3 muestra el esquema del ejercicio.

choques
Figura 3. Esquema ejercicio 2.

Ejemplo 3 (ayuda audio visual aquí)

Una bala de 8gr, se dispara contra un bloque de madera de 2Kg, está en reposo y hace parte de un péndulo balístico. Si el sistema bloque-bala sube 20cm luego del choque ¿Cuál es la velocidad inicial de la bala?

Solución

Primero se utiliza la fórmula de conservación de la energía mecánica para hallar la velocidad del sistema bloque-bala. Después de eso se reemplaza el valor hallado en la fórmula (5).

Para el primer paso se tiene que:

\begin{eqnarray} {1\over2}mv^2&=&mgh\\ v&=&\sqrt{2gh} \end{eqnarray}

Como el valor aproximado de la aceleración de gravedad es g = 10m/s2 y la altura es 20cm = 0,2m, el valor de la velocidad es:

\[v=\sqrt{2\cdot10\cdot0,2}=2m/s\]

Ahora, se usa la fórmula (5) y se reemplazan los valores.

\begin{eqnarray} m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}&=&(m_{A}+m_{B})v_{2}\\ 0,008\cdot v_{A1}+0&=&(0,008+2)\cdot2 \end{eqnarray}

De esta expresión se tiene que la velocidad de la bala es:

\[v_{A1}={(0,008+2)\cdot2\over0,008}=502m/s\]
Figura 3. Esquema ejercicio 3.

Taller de lectura

  1. Escriba la diferencia entre choque elástico e inelástico, además, la diferencia entre choque unidimensional y bidimensional.
  2. Copie las fórmulas (1) a (6) y, frente a cada una, escriba para qué se usa.
  3. Escriba, con los procedimientos los 3 ejercicios resueltos y, también, copie sus esquemas.
  4. Realice los siguientes ejercicios:
    1. Un vehículo de masa mA = 200Kg y velocidad vA1 = 60m/s, choca perpendicularmente, con otro de masa mB = 230Kg y velocidad vB1 = 45m/s. Si el choque es inelástico ¿Cuál es la velocidad de los coches justo después del choque?
    2. Una esfera de masa mA = 180gr y velocidad vA1 = 0,5m/s, se mueve sobre una superficie horizontal. Choca con otra que se mueve en la misma dirección  pero en sentido opuesto. La segunda esfera tiene masa mB = 210gr y velocidad vB1 = 0,6m/s. Si el choque es elástico ¿Cuál es la velocidad de las esferas justo después del choque?
    3. Una bala de masa mA = 7,5gr, impacta un bloque de madera de masa mB = 25Kg en reposo, que hace parte de un péndulo balístico. El sistema bala-bloque alcanza una altura de h = 0,15m. Entonces, ¿Cuál  es la velocidad de la bala?
Ejercicio a.