Ciencias naturales básicas



Ondas estacionarias en cuerdas y tubos. Fórmulas y ejemplos

Ondas estacionarias son aquellas que no tienen una amplitud constante y sufren reflexiones, debido a que viajan en instrumentos limitados espacialmente. Un ejemplo de estos sistemas, es una cuerda de guitarra cuando se hace sonar. Por un lado, la onda generada se mueve en un espacio limitado, que corresponde a la longitud de la cuerda. Por otro lado, la onda sufre reflexiones al llegar a los extremos de la cuerda.

En este tipo de ondas se encuentran dos elementos bien definidos. Primero, los nodos, que son aquellos puntos en los cuales las ondas se anulan. Segundo, los antinodos, que son aquellos puntos en los cuales la amplitud de la onda es máxima. Adicionalmente, el espacio entre los nodos recibe el nombre de “huso” o “vientre”. La interacción de las ondas en estos puntos, da como resultado una onda de función sinusoidal que pareciera detenida en el tiempo. Esta es la suma o resultante de las ondas que se generan.

Ondas estacionarias en cuerdas

Ondas estacionarias
Figura 1.

En la figura 1 se muestra una cuerda tensa de longitud L, fija en sus extremos. Al pulsarla, la perturbación se propaga hacia los extremos y cómo estos se encuentran fijos, la onda se refleja formando ondas estacionarias. Lo más importante, es tener en cuenta que los husos o vientres que se forman, son completos y se representan con números enteros (n). Igualmente, se debe tener en cuenta que, entre dos nodos consecutivos, hay media longitud de onda (½λ).

Del párrafo anterior se deduce que la longitud de onda (λ) en una cuerda se puede calcular con la expresión:

\[\lambda={2L\over n}\tag{1}\]

Del mismo modo, la longitud de la cuerda corresponde a la fórmula:

\[L={n\lambda\over2}\tag{2}\]

Además, si se incluye la fórmula para la velocidad de una onda (v=λf) y se combina con la fórmula (1), se pueden obtener expresiones para calcular otras variables. Por ejemplo, la fórmula para la frecuencia es:

\[f={nv\over2L}\tag{3}\]

Frecuencias o armónicos

La frecuencia en (n = 1), se llama frecuencia fundamental o primer armónico (Figura 1A). Los múltiplos de dicha frecuencia, también se llaman armónicos, pero van antecedidos de su ordinal. Por ejemplo, la figura 1B, muestra el segundo armónico en (n = 2) y la figura 1C, muestra el tercer armónico en (n = 3). Así se nombran hasta el enésimo armónico.

La tensión y la densidad lineal de una cuerda

Ondas estacionarias
Figura 2.

La figura 2 muestra un montaje para crear ondas estacionarias en cuerdas. El físico alemán Franz Melde descubrió las ondas estacionarias usando un montaje similar. Dicho montaje cuenta con un vibrador que permite ajustar la frecuencia y una masa colgante que permite ajustar la tensión (T). Por otro lado, la cuerda tiene una densidad lineal constante. La densidad lineal se mide en Kilogramos por metro (Kg/m) y se representa con la letra griega mu (µ). Este experimento permite demostrar que la velocidad de la onda depende tanto de la tensión, como de la densidad lineal de la cuerda. La expresión que relaciona estos elementos es:

\[v=\sqrt{{T\over\mu}}\tag{4}\]

Al combinar las fórmulas (3) y (4) se obtiene otra expresión para la frecuencia:

\[f={n\over2L}\cdot\sqrt{{T\over\mu}}\tag{5}\]

Ondas estacionarias en tubos

En los sistemas de tubos sonoros el medio es el aire. Este vibra a diferentes frecuencias, determinadas por la longitud L del tubo. Al igual que en las cuerdas, la frecuencia fundamental y sus múltiplos, son llamadas armónicos. Sin embargo, a diferencia de las cuerdas, los tubos no presentan vientres completos. En cada abertura hay un antinodo (medio vientre). Los tubos sonoros pueden ser cerrados o abiertos.

Figura 3.

Tubos cerrados

Estos tubos tienen un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el extremo abierto. La figura 3A muestra que el primer armónico o frecuencia fundamental, está a una longitud L equivalente a un cuarto de la longitud de onda (¼λ). No obstante, en los tubos cerrados, los múltiplos de los armónicos se hallan con la fórmula (2n-1). Por esta razón, la fórmula de la frecuencia es:

\[f={(2n-1)v\over4L}\tag{6}\]

Del mismo modo, la expresión para la longitud de onda es:

\[\lambda={4L\over(2n-1)}\tag{7}\]

Tubos abiertos

Los tubos abiertos tienen un antinodo en cada uno de sus extremos (figura 3B). La frecuencia fundamental está a una longitud L, equivalente a media longitud de onda (½λ). Por lo tanto, las expresiones para la longitud de onda y la frecuencia, son las mismas utilizadas para las cuerdas. Fórmulas (1) y (3) respectivamente.

Ejercicios resueltos de ondas estacionarias

Ejercicio 1

Una cuerda de longitud L = 0,35 metros, cuya densidad lineal es μ = 0,2 kilogramos por metro, se somete a una tensión T = 2,5 Newton. Calcular la velocidad de la onda y las frecuencias de los 2 primeros armónicos. Además, calcule la longitud de onda del tercer armónico.

Solución

Primero, se halla la velocidad usando la fórmula (4), sabiendo que μ = 0,2Kg/m y T = 2,5N.

\[v=\sqrt{{T\over\mu}}=\sqrt{{2,5\over0,2}}=3,53m/s\]

Segundo, se hallan las frecuencias de los armónicos usando la fórmula (3). Primer armónico (n = 1) y segundo armónico (n = 2).

\[f={nv\over2L}={1\cdot3,53\over2\cdot0,35}=5,04Hz\]
\[f={nv\over2L}={2\cdot3,53\over2\cdot0,35}=10,08Hz\]

Finalmente, se calcula la longitud onda con la fórmula (1). Para el tercer armónico (n = 3).

\[\lambda={2L\over n}={2\cdot0,35\over3}=0,23m\]
Ejercicio 2

En un tubo cerrado de longitud L = 25 centímetros, se produce una onda sonora con velocidad v = 340m/s. ¿Cuál es la frecuencia fundamental? ¿Cuál es la longitud de onda del segundo armónico?

Solución

Primero, se halla la frecuencia con la fórmula (6), sabiendo que para la frecuencia fundamental n = 1. Además, 25cm equivalen 0,25m.

\begin{eqnarray} f&=&{(2n-1)v\over4L}\\ f&=&{(2\cdot1-1)\cdot340\over4\cdot0,25}=340Hz \end{eqnarray}

Segundo, se halla la longitud de onda con la fórmula (7), sabiendo que para el segundo armónico n = 2.

\begin{eqnarray} \lambda&=&{4L\over(2n-1)}\\ \lambda&=&{4\cdot0,25\over(2\cdot2-1)}=0,33m \end{eqnarray}

Taller de lectura

  1. Escriba la definición de ondas estacionarias y, además, escriba un ejemplo.
  2. ¿Qué son nodos, antinodos y vientres?
  3. Copie la figura 1.
  4. Escriba las fórmulas (1), (2) y (3). Además, escriba para qué se usa cada una.
  5. ¿Qué diferencia hay entre el primer armónico o frecuencia fundamental y los demás armónicos?
  6. Copie la figura 2 y, además, describa cómo funciona el montaje allí representado.
  7. Copie las figuras (4) y (5) y, también, escriba para que se usa cada una.
  8. Dibuje la figura 3.
  9. ¿Cómo se hallan los múltiplos de los armónicos en los tubos cerrados?
  10. Copie las fórmulas (6) y (7) y escriba para qué se usan.
  11. Copie, con el procedimiento, los ejercicios resueltos.