Ley de Snell: enunciado, fórmulas y ejemplos resueltos

La ley de Snell está relacionada con el estudio de la refracción de las ondas. Fue descubierta experimentalmente por Willebrord Snell Van Royen (1591 – 1626). En este artículo encuentra el enunciado, las fórmulas y ejemplos de esta ley. Pero, antes es necesario recordar el concepto de refracción.

Ley de Snell
Figura 1. Cuando la luz pasa de un medio cualquiera a, cuyo índice de refracción es na, hacia un medio b de índice de refracción nb, la ley de Snell establece que sen θa × na = sen θb × nb

La refracción, es el cambio de velocidad que experimenta una onda que pasa, oblicuamente, de un medio a otro de diferente densidad.

La onda que llega para pasar de un medio a otro, es la onda incidente. La onda que se desplaza en el segundo medio es la onda refractada. (Vea la figura 1)

Los ángulos, tanto de la onda incidente como de la onda refractada, se miden con relación a la línea normal.

Las propiedades de la refracción de la luz, tienen aplicación en la fabricación de lentes para gafas, telescopios, microscopios, lupas y cámaras. Además, en el análisis de los espectros de dispersión y absorción. Estos últimos, utilizados en el estudio de la estructura de los átomos y de la composición química de los cuerpos celestes, entre otros.

Enunciado de la ley de Snell

El enunciado de la ley de Snell tiene dos componentes:

  1. El rayo incidente, el refractado y la normal a la superficie, están en el mismo plano.
  2. Para un par dado de sustancias transparentes y para una luz monocromática dada, la relación entre el seno del ángulo de incidencia (θ1) y el seno del ángulo de refracción (θ2) es constante.
\[{sen\theta_{1}\over sen\theta_{2}}=constante\mbox{(1)}\]

Fórmulas de la ley de Snell

Si se considera un rayo de luz monocromática partiendo del vacío y penetrando en un medio a cualquiera (figura 1), la ley de Snell puede escribirse de la siguiente manera:

\[{sen\theta_{1}\over sen\theta_{2}}=n_{a}\mbox{ (2)}\]

na es el índice de refracción del medio a. Los índices de refracción dependen de las sustancias (tabla 1).

SustanciaÍndice de refracción
Hielo1.31
Cuarzo1.54
Circonio1.92
Diamante2.42
Alcohol etílico1.36
Agua1.33
Glicerina1.47
Tabla 1. Índice de refracción de algunas sustancias.

Observe que el índice de refracción de todas las sustancias es mayor que 1. Esto se debe a que el índice de refracción es también igual a la relación entre las velocidades de propagación de la luz en los dos medios.

\[{c\over v_{a}}=n_{a}\mbox{ (3)}\]

Donde c es la velocidad de propagación de la luz en el vacío, cuyo valor es 300000 Km/s. Mayor que en cualquier otro medio.

De otro lado, se considera que el índice de refracción del aire es 1, porque la velocidad de la luz en el aire es aproximadamente igual a la velocidad de la luz en el vació. En otras palabras, la luz se comporta igual al pasar del vacío al aire y viceversa.

Del mismo modo, si se considera un rayo que pasa de un medio a, a un medio b, diferentes del vacío o el aire, la ley de Snell puede expresarse como:

\[{sen\theta_{a}\over sen\theta_{b}}={v_{a}\over v_{b}}\mbox{ (4)}\]

Donde va y vb son las velocidades de la luz en estos medios. La relación va/vb se llama índice de refracción del medio b con relación al medio a.

De acuerdo con la ecuación (3), sabemos que:

\[{c\over v_{a}}=n_{a}\mbox{ (5)}\] \[{c\over v_{b}}=n_{b}\mbox{ (6)}\]

Despejando c en las ecuaciones (5) y (6) e igualando, se tiene que:

\[sen\theta_{a}\times n_{a}=sen\theta_{b}\times n_{b}\mbox{ (7)}\]

Esta es la manera más simple y general de representar la ley de Snell.

Ejemplos

Ejemplo 1: Una onda luminosa que se desplaza en el aire, entra en un vidrio y adquiere una velocidad de 2 × 108 m/s. ¿Cuál es el índice de refracción de este vidrio?

Solución:

Los datos del ejercicio son:

  • c = 300000Km/s = (velocidad de la luz en el aire) Pasando a metros por segundo es igual a 3×108 m/s
  • Va = 2×108 m/s
  • na = índice de refracción a calcular

Se puede utilizar la ecuación (3), reemplazar los valores y realizar las operaciones:

\begin{eqnarray} n_{a}&=&{c\over v_{a}}\\ n_{a}&=&{3\times10^8 m/s\over 2\times10^8 m/s}\\ n_{a}&=&1.5\\ \end{eqnarray}

En resumen, el índice de refracción del vidrio es 1.5

Ejemplo 2: Se tiene un diamante sobre un bloque de hielo. Un rayo de luz que se desplaza en el diamante con una velocidad de 1.24×108 m/s, choca contra el bloque de hielo con un ángulo de incidencia cuyo seno es 0.6692 y se desplaza luego en el hielo con un ángulo de refracción cuyo seno es 0.3624. ¿Cuál será la velocidad de la luz en el hielo?

Solución:

Los datos del ejercicio son:

  • va = 1.24×108 m/s
  • sen θa = 0.6692
  • sen θb = 0.3624
  • vb = velocidad en el hielo (a calcular)

Solución:

Se puede utilizar la ecuación (4), despejar vb, reemplazar valores y realizar las operaciones.

\begin{eqnarray} {sen\theta_{a}\over sen\theta_{b}}&=&{v_{a}\over v_{b}}\\ v_{b}&=&{sen\theta_{b}\times v_{a}\over sen\theta_{a}}\\ v_{b}&=&{0.3624\times1.24\times10^8 m/s\over 0.6692}\\ v_{b}&=&{0.4493\times10^8 m/s\over 0.6692}\\ v_{b}&=&0.6715\times10^8 m/s\\ v_{b}&=&6.715\times10^7 m/s\\ \end{eqnarray}

En conclusión, la velocidad de la luz en el hielo es 6.715×107 metros por segundo.

Taller de lectura

  1. ¿Qué es refracción?
  2. ¿Qué es una onda incidente y una onda refractada?
  3. Copie la figura 1, con su descripción.
  4. ¿Qué aplicaciones tienen las propiedades de la refracción de la luz?
  5. ¿Qué dice la ley de Snell?
  6. ¿Por qué el índice de refracción de todas las sustancias es mayor que 1?
  7. ¿Cuál es la velocidad de propagación de la luz en el vacío?
  8. ¿Por qué se considera que el índice de refracción del aire es 1?
  9. Escriba el índice de refracción de cinco de las sustancias relacionadas en la tabla 1.
  10. Copie las ecuaciones 2, 3, 4 y 7
  11. Resuelva los siguientes ejercicios:
    1. Una onda luminosa pasa del aire a una sustancia, en la cual la luz viaja a una velocidad de 1.5625×108 m/s. Calcule el índice de refracción de la sustancia. Según la tabla 1 ¿Qué sustancia podría ser?
    2. Una onda luminosa choca contra la superficie de un lente con un ángulo cuyo seno es 0.5. si la velocidad de la luz a través del lente es de 2×108 m/s, ¿Cuál es el seno del ángulo de la onda refractada?