Ciencias naturales básicas



La velocidad angular y la velocidad tangencial (fórmulas y relación)

Diferencias entre velocidad angular y la velocidad tangencial

La velocidad angular y la velocidad tangencial son dos formas de describir el movimiento circular de una partícula. En ambos casos existe una relación entre el espacio recorrido y el tiempo empleado en el movimiento. Sin embargo, estas variables tienen consideraciones especiales. Por ejemplo, el periodo, es el tiempo empleado por la partícula en completar una vuelta. Se representa con T (mayúscula). Por otro lado, el espacio recorrido es la longitud de la circunferencia que describe el movimiento o el ángulo barrido durante el movimiento. En el primer caso, la velocidad se llama velocidad tangencial. En el segundo caso, a la velocidad se le llama velocidad angular. La figura 1 muestra un cuadro comparativo de velocidad angular y velocidad tangencial.

La velocidad angular y la velocidad tangencial
Figura 1.

Velocidad tangencial

Definición: la velocidad tangencial es la relación entre la longitud de la circunferencia (2πR) y el periodo (T). La fórmula de la velocidad tangencial es:

\[v={2\pi R\over T}\]

Donde v es el símbolo de la velocidad tangencial; T representa el periodo; y R representa el radio de la trayectoria.

Además, de esta expresión se deducen fórmulas para calcular el periodo y el radio de la trayectoria:

\[T={2\pi R\over v}\]
\[R={vT\over 2\pi}\]

El nombre de velocidad tangencial se debe a que el vector que la representa, es tangente a la trayectoria en cualquiera de sus puntos.

En el sistema internacional, las unidades de velocidad tangencial son metros sobre segundo (m/s). Por otro lado, en el sistema cgs, las unidades son son centímetros sobre segundo (cm/s).

Nota: En el caso de ruedas que se desplazan girando sobre una superficie, la velocidad tangencial es equivalente a la velocidad lineal. Por ejemplo, un auto cuyas ruedas giran con velocidad tangencial de 20 m/s, avanza, linealmente, 20 metros cada segundo.

Ejemplo de velocidad tangencial (Ejercicio resuelto de velocidad tangencial)

Calcular la velocidad tangencial de un disco de 0,15 metros de radio, que completa una vuelta cada 7 segundos.

Solución:

¿Cómo se calcula la velocidad tangencial? Para calcular esta velocidad, se escribe la ecuación de la velocidad tangencial. Después de eso, se reemplazan los valores y se realizan las operaciones.

\begin{eqnarray} v&=&{2\pi R\over T}\\ v&=&{2\times3,1416\times0,15m\over7s}=0,135m/s \end{eqnarray}

En resumen, la velocidad del disco es 0,135 metros sobre segundo.

La velocidad angular y la velocidad tangencial
Figura 2.

La fórmula para la longitud de la circunferencia 2πR, fue deducida por Arquímedes.

Taller de lectura 1

  1. Copie el cuadro comparativo de velocidad angular y velocidad tangencial.
  2. Escriba la definición de velocidad tangencial.
  3. Copie las fórmulas de velocidad tangencial, periodo y radio.
  4. ¿A qué se debe el nombre de velocidad tangencial?
  5. ¿Cuáles son las unidades de la velocidad tangencial?
  6. Copie el ejercicio resuelto de velocidad tangencial.
  7. Desarrolle el siguiente ejercicio: Un objeto se mueve sobre una pista circular de 200 metros de radio, con una velocidad de 50 metros sobre segundo. ¿Cuál es el periodo del movimiento?

Velocidad angular (ω)

Definición: la velocidad angular es la relación entre el ángulo descrito por una partícula y el intervalo de tiempo necesario para describirlo. La fórmula de la velocidad angular es:

\[\omega={\theta\over t}\]

Donde ω (omega minúscula) es el símbolo de la velocidad angular; θ es la medida del ángulo en radianes; y t es el tiempo empleado en el movimiento. Este tiempo es diferente del periodo (T).

De dicha fórmula se obtienen expresiones para calcular el ángulo y el tiempo.

\[\theta=\omega t\]
\[t={\theta\over\omega}\]

Ciertamente, hay otra manera de representar la velocidad angular. Consiste en considerar que la partícula realiza una vuelta completa. En consecuencia, el ángulo descrito es 2π radianes y, además, el tiempo es de un periodo. En conclusión, la expresión es:

\[\omega={2\pi\over T}\]

2π radianes equivalen a 360°.

Las unidades de la velocidad angular son radianes sobre segundo (rad/s). También puede ser en revoluciones por minuto (rpm), por ejemplo, en el caso de los motores. El instrumento para medir este tipo de velocidad se llama tacómetro.

Figura 3.

Conversión de grados a radianes y de radianes a grados

Frecuentemente, se obtiene la información del ángulo en grados. En consecuencia, es necesario realizar la conversión correspondiente. Para ello, se tiene en cuenta la siguiente equivalencia:

π rad = 180° (Sin embargo, la figura 3 muestra una tabla con otras equivalencias)

Esta equivalencia puede usarse en factores de conversión que permitan representar grados en radianes o viceversa.

Para representar grados en radianes se usa la expresión:

\[rad=grados\times{\pi rad\over180^\circ}\]

Por otro lado, para representar radianes en grados está la expresión:

\[grados=radianes\times{180^\circ\over\pi rad}\]
Ejemplo de conversión de grados a radianes

Representar 56 grados en radianes.

Solución:

Se escribe la expresión:

\[rad=grados\times{\pi rad\over180^\circ}\]

A continuación, se reemplazan los valores:

\[rad=56^\circ\times{\pi rad\over180^\circ}\]

Se cancela el símbolo de grados, se indica la multiplicación 56 por π dividido entre 180 y se simplifica. (En este caso, sacando la cuarta parte en numerador y denominador)

\[rad={56\pi rad\over180}={14\pi rad\over45}\]

Esta es la respuesta más utilizada. Sin embargo, hay otras respuestas válidas. Por ejemplo, se puede dividir 56 entre 180 y se tiene 0,311π radianes. también, aunque es poco usual, puede multiplicar este resultado por el valor de pi. En este caso, la respuesta es 0,977 radianes. (En resumen, 56 grados equivalen a 0,977 radianes).

Ejemplo de conversión de radianes a grados

Representar 3π radianes en grados.

Solución:

Se escribe la expresión

\[grados=radianes\times{180^\circ\over\pi rad}\]

Se reemplazan los valores

\[grados=3\pi rad\times{180^\circ\over\pi rad}\]

Se cancela el número pi y los radianes. Para terminar, se multiplica 3 por 180. En consecuencia, la respuesta es 540 grados. (En otras palabras, 3π radianes equivalen a 540 grados).

Ejemplos de velocidad angular (ejercicios resueltos de velocidad angular)

1 – Un disco gira formando un ángulo barrido de 9 grados en 12 segundos. ¿Cuál es su velocidad angular?

Solución:

Se representan los 9 grados en radianes

\[rad=9^\circ\times{\pi rad\over180^\circ}={9\pi rad\over180}={\pi rad\over20}\]

Después de eso, se calcula la velocidad angular. Para calcular esta velocidad, se escribe la ecuación de la velocidad angular, se reemplazan los valores y se realizan las operaciones.

\[\omega={\theta\over t}\]
\[\omega={{\pi rad\over20}\over12s}={\pi rad\over240s}=0,013rad/s\]

Por lo tanto, la velocidad angular del disco es 0,013 radianes sobre segundo.

2 – ¿Cuál es la velocidad angular de un motor eléctrico que gira a 600 revoluciones por minuto (600 rpm)?

Solución:

Para pasar revoluciones por minuto (rpm) a radianes por segundo rad/s, se tiene en cuenta lo siguiente:

En cada revolución se describe un ángulo de 2π radianes. Entonces, se puede usar esta equivalencia para pasar revoluciones a radianes. Además, en un minuto hay 60 segundos. Por lo tanto, esta equivalencia permite pasar minutos a segundos. En consecuencia, la expresión queda:

\[600rev/min\times{2\pi rad\over1rev}\times{1min\over60s}\]

Primero, se eliminan revoluciones y minutos. Por lo tanto, las unidades que quedan son rad/s. para terminar, se multiplica 600 por 2π y se divide entre 60. En consecuencia, la respuesta es 62,83 radianes sobre segundo. Sin embargo, si solo se simplifica, la respuesta se escribe como 20π rad/s.

Taller de lectura 2

  1. Escriba la definición de velocidad angular.
  2. Escriba la fórmula de la velocidad angular.
  3. ¿Cuál es el símbolo de la velocidad angular?
  4. Copie las fórmulas que se usan para calcular el ángulo y el tiempo.
  5. ¿Cuál es la otra manera de representar la velocidad angular? Escriba la expresión.
  6. ¿Cuáles son las unidades de la velocidad angular?
  7. ¿Qué es un tacómetro?
  8. Copie, con el procedimiento, el ejemplo de conversión de grados a radianes. Además, copie el ejemplo de conversión de radianes a grados.
  9. Copie, con el procedimiento, los dos ejercicios resueltos de velocidad angular.

Relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial

La fórmula de la velocidad tangencial es:

\[v={2\pi R\over T}\]

Que también puede escribirse:

\[v=\left({2\pi\over T}\right)R\]

Pero, como (2π/T) es la velocidad angular (ω), se puede reemplazar en la ecuación anterior para obtener:

\[v=\omega R\]

Esta ecuación relaciona la velocidad tangencial (o lineal) con la velocidad angular. Además, permite calcular la velocidad lineal cuando se conoce la velocidad angular y el radio de la trayectoria. Sin embargo, es válida solo si los ángulos están medidos en radianes.

Por otro lado, la importancia de la relación entre velocidad angular y velocidad tangencial radica en su gran utilidad para estudiar el movimiento de dos o más ruedas unidas por correas o de un sistema de engranajes o piñones (ver figura 4).

La velocidad angular y la velocidad tangencial
Figura 4.

Las velocidades tangenciales o lineales de 2 o más ruedas unidas por una correa, son iguales. De manera similar, son iguales las velocidades de los piñones de un engranaje. Esta igualdad se representa mediante la siguiente expresión matemática:

\[\omega_1R_1=\omega_2R_2\]

R1 y R2 son los radios de las ruedas. Además, ω1 y ω2 son sus velocidades angulares.

Ejemplo de la relación entre velocidad angular y velocidad tangencial

En una bicicleta, el plato tiene un radio de 0,125 metros. Si una persona pedalea a razón de 2π radianes por segundo, ¿Cuál es la velocidad angular de la rueda trasera, cuyo piñón tiene 0,04 metros? ¿Cuál es la velocidad de la bicicleta si las ruedas tienen 0,26 metros de radio?

Solución:

Primero, los datos del plato son: radio (R1) = 0,125m y velocidad angular (ω1) = 2π rad/s. Además, los datos del piñón son: radio (R2) = 0,04n y velocidad angular (ω2) por calcular. Como son ruedas unidas por una cadena, entonces, se usa la expresión ω1R12R2, para despejar ω2, Después de eso, se reemplazan los datos y se realizan las operaciones.

\[\omega_2={\omega_1R_1\over R_2}\]
\[\omega_2={2\pi rad/s\times0,125m\over0,04m}=19,64rad/s\]

En resumen, la velocidad angular del piñón es 19,64 metros sobre segundo.

Por otro lado, para calcular la velocidad de la bicicleta, se usa la ecuación v=ωR. Sin embargo, como la velocidad angular del piñón es la misma de la rueda (porque están fijos entre sí), basta con multiplicar dicha velocidad por el radio de la rueda.

\[v=\omega R\]
\[v=19,64 rad/s\times 0,26m=5,1m/s\]

En consecuencia, la velocidad de la bicicleta es 5,1 metros sobre segundo.

Taller de lectura 3

  1. Escriba la ecuación que relaciona la velocidad tangencial (o lineal) con la velocidad angular.
  2. ¿En qué radica la importancia de la relación entre velocidad angular y velocidad tangencial?
  3. Copie la figura 4.
  4. Copie, con el procedimiento, el ejemplo de la relación entre velocidad angular y velocidad tangencial.