La ley de Hooke. Enunciado, fórmula y ejercicios resueltos

La ley de Hooke establece la relación entre la longitud de un resorte y la fuerza que este ejerce al comprimirlo o estirarlo. La ley toma su nombre de quien la enunció en 1665. Robert Hooke.

Resorte es cualquier objeto elástico que recupere su forma original, al dejar de aplicar sobre él, una fuerza deformadora. Puede ser un espiral, cinta o lámina de metal. También, puede ser un caucho o elástico de goma.

Enunciado de la ley de Hooke

El enunciado de la ley de Hooke es el siguiente: “La fuerza ejercida por un resorte es directamente proporcional a su deformación”.

La deformación se representa con (x) y determina el cambio de longitud de un resorte. Es decir, en un resorte sin carga, su deformación es x = 0.

En otras palabras, la ley de Hooke dice que cuando un resorte se deforma una distancia x, este ejerce una fuerza F, que tiende a llevarlo a su longitud original. Entonces, al ser F directamente proporcional a x, si x se duplica (a 2x) la fuerza también se duplica (a 2F). Del mismo modo, si x se triplica (a 3x), la fuerza también se triplica (a 3F), etc. Este mismo resultado se puede comprobar al comprimir el resorte en lugar de estirarlo.

La ley de Hooke
Figura 1.

Fórmulas de la ley de Hooke

Al graficar la fuerza ejercida por un resorte en función de su deformación (figura 1A), se obtiene una línea recta que pasa por el origen. La pendiente de dicha recta es la constante de proporcionalidad k. A esta constante se le llama “contante elástica” o “constante de elasticidad” y es propia de cada resorte. En consecuencia, la fórmula de la ley de Hooke es:

\[F=Kx\tag{1}\]

Por su parte, la fórmula para calcular la constante elástica es:

\[K={F\over x}\tag{2}\]

Las unidades de la constante elástica son Newton sobre metro (N/m).

Trabajo de un resorte

Un resorte comprimido o estirado más allá de su longitud original, es capaz de realizar un trabajo. Por ejemplo, desplazar un cuerpo unido a uno de sus extremos. Dicho trabajo es igual al área bajo la línea entre dos puntos (figura 1B) y se puede calcular con la fórmula:

\[w={1\over2}Kx^2\tag{3}\]

El trabajo realizado entre dos puntos A y B, es la diferencia wB-wA

Energía potencial elástica

La cantidad de trabajo que un resorte puede realizar, es igual a su energía potencial elástica (Epe) (figura 1C). Por lo tanto, la fórmula de esta energía es:

\[E_{pe}={1\over2}Kx^2\tag{4}\]

Características de la ley de Hooke

  • Esta ley solo es verdadera si las deformaciones no son muy grandes. Cuando las fuerzas dejan de ser proporcionales a las deformaciones, el resorte ha llegado a su “límite de elasticidad”. En otras palabras, mientras las deformaciones sean inferiores a este límite, el resorte vuelve a su tamaño normal al cesar la fuerza deformadora. De lo contrario, el resorte se deforma permanentemente.
  • La fuerza que se debe hacer para deformar un resorte no es constante, sino que crece con la deformación.

Aplicaciones de la ley de Hooke

La ley de Hooke
Figura 2 Clases de resortes.

La ley de Hooke se aplica en todas aquellas máquinas y dispositivos que tienen resortes. De los resortes se utilizan las fuerzas generadas en sus deformaciones. Dichas fuerzas pueden ser de compresión, tensión y torsión (figura 2). Además, los resortes son útiles para “absorber energía” de las cargas de choque, como ocurre, por ejemplo, en la suspensión de los vehículos. Por lo tanto, la ley de Hooke se aplica en dispositivos tan sencillos como bolígrafos, pinzas de ropa, colchones, elementos para pilates, y básculas.  Del mismo modo, se encuentran en sistemas de amortiguación, mecanismos de cierre de puertas automáticas, relojes mecánicos, bicicletas, etc. La figura dos, muestra ejemplos de algunas clases de resortes.

Combinación de resortes

Figura 3.

Cuando dos o más resortes aplican su fuerza sobre un mismo cuerpo, se dice que están combinados (figura 3). Además, sus constantes elásticas se pueden operar para obtener una contante de elasticidad equivalente (Keq). Los resortes combinados pueden conectarse en serie o en paralelo.

En los resortes combinados en serie, se conecta un resorte a continuación de otro. La contante de elasticidad equivalente se halla con la fórmula:

\[K_{eq}={1\over{1\over K_{1}}+{1\over K_{2}}+…}\tag{5}\]

Donde K1, K2… Kn son las constantes elásticas de cada resorte.

Por otro lado, los resortes combinados en paralelo, tienen puntos fijos comunes y la contante de elasticidad equivalente es la suma de las constantes elásticas de cada resorte.

\[K_{eq}=K_{1}+K_{2}+…\tag{6}\]

Una combinación de resortes se puede reemplazar por un resorte equivalente, cuya constante elástica sea igual a Keq.

Ejercicios resueltos de la ley de Hooke

Ejercicio 1

¿Cuál es el valor de la constante elástica (K) del resorte representado en la figura 1A?

Solución:

Para resolver este tipo de ejercicio se selecciona un par ordenado de la gráfica. A continuación, se reemplazan los valores en la fórmula 2. Aquí se toma el par (0,02, 10) donde x=0,02m y F=10N.

\[K={10N\over0,02m}=500N/m\]

Ejercicio 2

¿Cuál es el valor del trabajo que puede realizar el resorte representado en la figura 1A, cuando la deformación pasa de 0,03m a 0,02m?

Solución:

Primero, se halla la deformación (x=0,03m-0,02m=0,01m). Además se requiere la constante elástica (K), que se halla como en el ejercicio 1. Finalmente, se reemplazan estos valores en la fórmula 3. El trabajo también se mide en Julios.

\[w={1\over2}\cdot500\cdot0,01^2=0,025J\]

Ejercicio 3

Se estira lentamente un resorte cuya longitud inicial es de 0,3m. Se comprueba que para llevarlo a una longitud de 0,41m, se requiere una fuerza de 12N. calcule la constante elástica del resorte y su energía potencial elástica en esa posición.

Solución:

Para calcular la constante elástica, primero se halla la deformación (x) del resorte. Es decir, (0,41m-0,3m=0,11m) Después de eso, se reemplaza este valor y el de la fuerza, en la fórmula 2.

\[K={12N\over0,11m}=109,1N/m\]

Para hallar la energía potencial elástica en esa posición, se reemplaza la deformación (x=0,11m) y la constante elástica (K=109,1N/m), en la fórmula 4. (La energía se mide en Julios).

\[E_{pe}={1\over2}\cdot109,1\cdot0,11^2=0,66J\]

Ejercicio 4

Un bloque se encuentra suspendido de dos resortes combinados en serie. Sus constantes elásticas son, respectivamente, K1 = 0,3N/m y k2 = 0,42N/m. ¿Cuál es la constante elástica del resorte equivalente?

Solución:

Los resortes están combinados en serie. Entonces, se reemplazan las constantes elásticas en la fórmula 5.

\[K_{eq}={1\over{1\over0,3}+{1\over 0,42}}=0,175N/m\]

Ejercicio 5

Se requiere suspender un bloque de 12Kg, de un resorte que solo debe estirarse 5cm al sostenerlo. ¿Cuál debe ser la constante elástica de dicho resorte?

Solución:

Primero, se halla el peso del bloque. Este es la fuerza que deforma el resorte. Según la segunda ley de Newton, (F=m×a). Por lo tanto F=12Kg×9,8m/s2=117,6N. Luego, se representan los 5cm en metros (5cm=0,05m). Para terminar, se reemplazan estos datos en la fórmula 2.

\[K={117,6\over 0,05}=2352N/m\]

Taller de lectura

  1. Complete la siguiente frase: La ley de Hooke establece la relación entre la longitud de un resorte y …
  2. ¿Qué es un resorte?
  3. ¿Qué es deformación y qué es el límite de elasticidad?
  4. Escriba el enunciado de la ley de Hooke.
  5. Copie las fórmulas 1 a 6. Además, escriba para que se usa cada una.
  6. Copie la figura 1, con su descripción.
  7. Escriba las características de la ley de Hooke.
  8. Copie la figura 3, con su descripción.
  9. Escriba 5 aparatos que utilicen resortes.
  10. Copie, con el procedimiento, los ejercicios resueltos.
  11. Observe la figura 1A y responda ¿Cuál es el valor de la fuerza, si el resorte representado en la figura se estira hasta 0,04m?
  12. ¿Dónde se aplica la ley de Hooke?
  13. ¿Cuáles son los dos tipos de combinación de los resortes?
  14. ¿Cómo se calcula la constante de elasticidad en cada tipo de combinación de resortes?
  15. ¿Cuáles son los 3 tipos de fuerza que puede ejercer un resorte?