Hidrodinámica. Principios y ecuaciones fundamentales

La hidrodinámica es la parte de la física que estudia el movimiento de fluidos como el agua. Su estudio está relacionado con la aplicación del principio de Bernoulli, también llamado teorema de Bernoulli. En el caso concreto de la hidrodinámica, este principio permite calcular variables como la velocidad de un líquido, el caudal o gasto, la presión y el flujo. Sin embargo, a nivel básico, solo se aplica a líquidos ideales, los cuales tienen 3 características.

Primero, son incompresibles. Un fluido incompresible es aquel cuya densidad no varia con los cambios de presión.

Segundo, tienen viscosidad despreciable. Es decir, no tienen fuerzas de rozamiento interno y, en consecuencia, fluyen de manera óptima.

Tercero, son estables o estacionarios, un fluido estable o estacionario, es aquel cuya velocidad en cada punto del espacio permanece constante. En otras palabras, la velocidad no varía con el tiempo.

Conceptos y principios de la hidrodinámica

Principio de Bernoulli

La ecuación fundamental de la hidrodinámica es la correspondiente al teorema de Bernoulli que relaciona la presión, la velocidad y la altura de un fluido, en dos puntos situados a lo largo de una línea de flujo o línea de corriente.

Deducción de la ecuación de Bernoulli

Figura 1.

Estos 3 amigos de la figura 1, (energía cinética, energía potencial y energía de presión), se unen para mover un fluido del punto 1 al punto 2, dentro de un ducto. Pero, deben cumplir una condición: que la suma de las energías que invierten en el punto 1, sea igual a la suma de las energías que tienen en el punto 2. Por lo tanto, la ecuación queda así:

Como todos los términos de la ecuación tienen la masa m como factor, esta se puede cancelar. Como resultado, se tiene la expresión:

Esta es una de las formas más usadas de la ecuación de Bernoulli. No obstante, si se multiplica, en ambos lados de la ecuación, por la densidad ρ y se reordenan los términos, la ecuación final es:

En conclusión, las ecuaciones 1 y 2 son equivalentes.

Además, es importante anotar, que si el tubo de flujo es horizontal, se pueden eliminar los términos 3 y 6 de la ecuación, por cuanto la altura h₁ sería igual a h₂. Entonces, la ecuación quedaría:

\[p_{1}+{1\over2}\rho v_{1}^2=p_{2}+{1\over2}\rho v_{2}^2\]

Del principio de Bernoulli se derivan conceptos como el de la ecuación de continuidad y el teorema de Torricelli.

Ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad establece que cuando la sección de un tubo de flujo disminuye, la velocidad del fluido aumenta y viceversa. Dicha ecuación es:

\[A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}\tag{3}\]

Donde A₁ es el área de la sección inicial y A₂ es el área de la sección final. Además, v₁ y v₂ son las velocidades. El producto Av es constante.

Teorema de Torricelli (velocidad de salida)

El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli, al caso particular de un depósito lleno de líquido con un orificio de salida. La figura 2 representa un depósito de sección transversal A, lleno hasta una altura h, con un líquido de densidad ρ. Sobre la superficie del líquido hay una presión p₁. Además, dicho líquido sale por un orificio de sección transversal A₂, donde hay una presión p₂.

Si se tienen en cuenta las velocidades en los puntos 1 y 2 (v₁ y v₂), es posible calcular la velocidad de salida en dos situaciones diferentes. Primero, en un depósito abierto. Segundo, en un depósito cerrado.

Figura 2.

Velocidad de salida en un depósito abierto

En esta situación, las presiones p₁ y p₂, son iguales. Es decir, las diferencia (p₁ -p₂) es igual a cero. Por el contrario, la diferencia entre las secciones transversales es muy grande. Por ejemplo, en el tanque de agua potable de una casa, el área transversal de la parte superior del tanque, es mucho más grande, que el área transversal del tubo por el cual sale el líquido. Esa gran diferencia de las áreas, genera una gran diferencia entre las velocidades v₁ y v₂, de acuerdo con la ecuación de continuidad. Es decir, v₁ es tan pequeña que puede despreciarse. Al aplicar la ecuación de Bernoulli con estas restricciones, se tiene que la ecuación para la velocidad de salida en un depósito abierto es:

\[v_{2}=\sqrt{2gh}\tag{4}\]

Velocidad de salida en un depósito cerrado

En un depósito cerrado, la velocidad de salida depende, casi totalmente, de la presión p₁. Las presiones p₁ y p₂ son muy diferentes y la velocidad debida a la altura y a la gravedad, es despreciable. Por lo tanto, la expresión 2gh no se tiene en cuenta. Entonces, la expresión para la velocidad de salida en un depósito cerrado es:

\[v_{2}=\sqrt{{2(P_{1}-P_{2})\over\rho}}\tag{5}\]

En resumen, la velocidad de salida en un depósito cerrado, depende de la diferencia de presión y de la densidad ρ del líquido.

Caudal o gasto

El caudal Q, es el volumen de líquido que sale por un orificio en la unidad de tiempo. Por lo tanto, se mide en metros cúbicos sobre segundo (m³/s). El caudal puede ser teórico o real. El caudal teórico se calcula multiplicando la velocidad de salida por el área del orificio. Su fórmula para un depósito abierto es:

\[Q=A\cdot\sqrt{2gh}\tag{6}\]

Sin embargo, para hallar el caudal real se debe, además, multiplicar por el coeficiente de descarga C. Por lo tanto, la fórmula del caudal real es:

\[Q=C\cdot A\cdot\sqrt{2gh}\tag{7}\]

Usos y aplicaciones de la hidrodinámica

Los usos y aplicaciones más comunes de la hidrodinámica están relacionados con el diseño de sistemas de tuberías. Por ejemplo, de distribución de agua potable, recolección de aguas residuales y de extracción de petróleo. Además, con el diseño de barcos y submarinos, turbinas hidráulicas y estructuras de defensa contra inundaciones. Del mismo modo, en la construcción de canales y sistemas de riego, entre otros.

Ejercicios resueltos de hidrodinámica

Ejercicio 1

El agua entra en una casa por una tubería de 2cm de diámetro con una presión de 4×10⁵ Pa (Pascales) y una velocidad de 4m/s. La tubería desemboca en un baño 5 metros más arriba, por un tubo de 1cm de diámetro. ¿Cuál es la velocidad y la presión en el cuarto de baño?

Solución

Los datos del ejercicio son:

V₁ = 4m/s.

A₁ = π(0,01)² = 0,000314m²Porque si el diámetro es 2cm, el radio es 1cm. Que representado en metros es 0,01m.
A₂ = π(0,005)²= 0,000078m².
V₂ = debe calcularse.

p₁ = 4×10⁵ Pa.
p₂ = debe calcularse.
h₂ = 5m. Además, si no se indica otra cosa, h₁ es cero.

Un dato que no está en el enunciado, es la densidad del agua. Sin embargo, su valor es ρ=10³Kg/m³.

La velocidad v₂, puede calcularse con la ecuación de continuidad (3).

\begin{eqnarray} v_2&=&{A_{1}v_1\over A_2}\\ v_2&=&{0,000314\times4\over0,000078}\\ v_2&=&16,1m/s \end{eqnarray}

La presión p₂, se obtiene a partir de la ecuación de Bernoulli y es:

Es posible que en la calculadora se obtenga el resultado como 2293955. Sin embargo, llevando este número a notación científica y aproximando, se obtiene 2,3×10⁵.

Ejercicio 2

Se hace un orificio circular de 2cm de diámetro en la pared de un gran depósito abierto, a 10m del nivel del agua. Calcule la velocidad de salida y el caudal teórico.

Solución

Por tratarse de un depósito abierto, la velocidad de salida se calcula con la ecuación 4 y el caudal con la ecuación 6. En consecuencia, la velocidad es:

\begin{eqnarray} v_2&=&\sqrt{2gh}\\ v_2&=&\sqrt{2\times9,8\times10}\\ v_2&=&14m/s \end{eqnarray}

Por otra parte, el caudal teórico es:

\begin{eqnarray} Q&=&A\sqrt{2gh}\\ Q&=&\pi\times0,01^2\sqrt{2\times9,8\times10}\\ Q&=&4,4\times10^{-3}m^3/s \end{eqnarray}

Ejercicio 3

Calcular la velocidad de salida del aceite hidráulico contenido en un cilindro cerrado sometido a una presión de 3×10⁵Pa. La densidad del líquido es de 800Kg/m³ y el orificio de salida tiene un área de 7×10^-4 m³. Además la presión atmosférica del lugar es de 1×10⁵Pa.

Solución

Como el depósito es cerrado, la velocidad se calcula con la fórmula 5. En consecuencia, la velocidad de salida es:

\begin{eqnarray} v_{2}&=&\sqrt{{2(p_{1}-p_{2})\over\rho}}\\ v_{2}&=&\sqrt{{2(3\times10^5-1\times10^5)\over800}}\\ v_2&=&22.3m/s \end{eqnarray}

Taller de lectura

¿Qué es la hidrodinámica?
Escriba las 3 características de los líquidos ideales.
Haga un resumen del principio de Bernouilli y, además, escriba las dos versiones de su ecuación.

Escriba la ecuación de continuidad.
Escriba las ecuaciones de la velocidad de salida en un depósito abierto y de uno cerrado.
Copie las ecuaciones de caudal teórico y real.

Copie, con los procedimiento, los ejercicios resueltos de hidrodinámica.