Ciencias naturales básicas



Hidrodinámica. Principios y ecuaciones fundamentales

La hidrodinámica es la parte de la física que estudia los fluidos en movimiento. Para el estudio de la hidrodinámica, existen modelos sencillos que permiten hacer un análisis detallado de los aspectos más importantes. Dichos modelos exigen 3 condiciones que se consideran como características de la hidrodinámica.

Primero, se aplican a fluidos incompresibles. Un fluido incompresible es aquel cuya densidad no varia con los cambios de presión. Es decir, se aplica solamente a los líquidos.

Segundo, se aplican a líquidos con viscosidad despreciable, porque no tienen fuerzas de rozamiento interno y, en consecuencia, fluyen de manera óptima.

Tercero, se aplican a fluidos estables o estacionarios, un fluido estable o estacionario, es aquel cuya velocidad en cada punto del espacio permanece constante. En otras palabras, la velocidad no varía con el tiempo. Además, la línea de flujo debe estar bien determinada. La línea de flujo es la trayectoria descrita por un fluido en movimiento.

Conceptos y principios de la hidrodinámica.

Ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad establece que cuando la sección de un tubo de flujo disminuye, la velocidad del fluido aumenta y viceversa. Dicha ecuación es:

\[A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}\tag{1}\]

Donde A1 es el área de la sección inicial y A2 es el área de la sección final. Además, v1 y v2 son las velocidades. El producto Av es constante.

Principio de Bernouilli

Cuando un fluido incompresible se mueve a lo largo de un tubo de flujo, de sección variable, su velocidad varía. Así lo indica la ecuación de continuidad. Sin embargo, para este cambio de velocidad (aceleración), es necesaria una fuerza que proviene de la presión. En consecuencia, si la sección del tubo varía, la presión también lo hace. Adicionalmente, si esa fuerza desplaza al fluido, significa que se está realizando un trabajo sobre él. El principio de Bernouilli integra todos estos aspectos (figura 1). La ecuación de Bernouilli simplificada es:

\[p_{1}+\rho gh_{1}+{1\over2}\rho v_{1}^2=p_{2}+\rho gh_{2}+{1\over2}\rho v_{2}^2\tag{2}\]

Donde p1 y p2 son las presiones en 2 puntos del tubo de fluido. Además, ρgh1 y ρgh2 corresponden al trabajo realizado por la altura h (energía potencial). Finalmente, ½ρv21 y ½ρv22 indican el trabajo realizado por la velocidad v (energía cinética).

Es importante anotar, que si el tubo de flujo es horizontal, se pueden eliminar los términos 2 y 5 de la ecuación, por cuanto la altura h1 sería igual a h2. Como resultado, la ecuación quedaría:

\[p_{1}+{1\over2}\rho v_{1}^2=p_{2}+{1\over2}\rho v_{2}^2\]
Hidrodinámica
Figura 1.

El teorema de Torricelli (velocidad de salida)

El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernouilli, al caso particular de un depósito lleno de líquido con un orificio de salida. La figura 2 representa un depósito de sección transversal A, lleno hasta una altura h, con un líquido de densidad ρ. Sobre la superficie del líquido hay una presión p1. Además, dicho líquido sale por un orificio de sección transversal A2, donde hay una presión p2.

Si se tienen en cuenta las velocidades en los puntos 1 y 2 (v1 y v2), es posible calcular la velocidad de salida en dos situaciones diferentes. En un depósito abierto, o en uno cerrado.

Velocidad de salida en un depósito abierto.

En esta situación, las presiones p1 y p2, son iguales. Por lo tanto, las diferencia (p1 -p2) es igual a cero. No obstante, la diferencia entre las secciones transversales es muy grande. Por ejemplo, en el tanque de agua potable de una casa, el área transversal de la parte superior del tanque, es mucho más grande, que el área transversal del tubo por el cual sale el líquido. Adicionalmente, la gran diferencia de las áreas genera una gran diferencia entre las velocidades v1 y v2, de acuerdo con la ecuación de continuidad (ecuación 1). Es decir, v1 es tan pequeña que puede despreciarse. Al aplicar la ecuación de Bernouilli con estas restricciones, la ecuación para la velocidad se obtiene con el siguiente procedimiento:

Se escribe la ecuación de Bernouilli (ecuación 2).

\[p_{1}+\rho gh_{1}+{1\over2}\rho v_{1}^2=p_{2}+\rho gh_{2}+{1\over2}\rho v_{2}^2\]

La primera parte de la ecuación (hasta el signo igual) corresponde a los datos en la superficie del líquido. Por otro lado, la segunda parte describe la situación en el orificio de salida. De acuerdo con las restricciones anotadas antes, se pueden eliminar las presiones p1 y p2, por ser iguales. También, se puede eliminar el tercer término por cuanto la velocidad v1 tiende a cero. Adicionalmente, se puede eliminar el quinto término porque el orificio está a una altura h que siempre se toma como igual a cero. En consecuencia, la expresión queda así:

\[\rho gh_{1}={1\over2}\rho v_{2}^2\]

En este punto, también se puede eliminar la densidad ρ, que está multiplicando en ambos lados de la ecuación. Entonces, queda:

\[gh_{1}={1\over2}v_{2}^2\]

Pasando  el 2 a multiplicar y sacando raíz cuadrada a ambos lados, se obtiene que la velocidad de salida v2 es:

\[v_{2}=\sqrt{2gh}\tag{3}\]
Caudal o gasto.

Le caudal Q, es el volumen de líquido que sale por un orificio en la unidad de tiempo. Este puede ser teórico o real. el caudal teórico se calcula multiplicando la velocidad de salida por el área del orificio. su fórmula es:

\[Q=A\sqrt{2gh}\tag{4}\]

Sin embargo, para hallar el caudal real se debe, además, multiplicar por el coeficiente de descarga C. Este depende, entre otras cosas, de la forma del orificio. Por ejemplo, el coeficiente de descarga de un orificio redondo es C=0,62. Por lo tanto, la fórmula del caudal real es:

\[Q=C\cdot A\sqrt{2gh}\tag{5}\]
Hidrodinámica
Figura 2.
Velocidad de salida en un depósito cerrado.

En esta situación, la velocidad de salida depende, casi totalmente, de la presión p1. Desde luego p1 y p2 son muy diferentes y la velocidad debida a la altura h y a la gravedad g, es despreciable. Por lo tanto, la expresión 2gh no se tiene en cuenta. Entonces, la expresión para la velocidad de salida se obtiene siguiendo un proceso igual al anterior. Es decir, se escribe la ecuación de Bernouilli y se eliminan los términos tercero y quinto. Finalmente, de la expresión resultante, se despeja v2. En conclusión, la velocidad de salida en un depósito cerrado es:

\[v_{2}=\sqrt{{2(p_{1}-p_{2})\over\rho}}\tag{6}\]

En resumen, la velocidad de salida en un depósito cerrado, depende de la diferencia de presión y de la densidad ρ del líquido.

Fuerza de salida

La fuerza de salida es otra variable importante en hidrodinámica. Según el principio de Pascal, la fuerza es el producto de la presión por el área. Del procedimiento anterior se deduce que la presión es 2(p1-p2) y el área, es la del orificio de salida. Por lo tanto, la expresión para calcular la fuerza de salida es:

\[F=2A_{2}(p_{1}-p_{2})\tag{7}\]

Usos y aplicaciones de la hidrodinámica

La hidrodinámica se aplica en la construcción de canales y sistemas de riego. En la construcción de acueductos sistemas hidráulicos en casas y edificios. Además, en el diseño de líneas de flujo en procesos industriales, entre otros.

Ejercicios resueltos de hidrodinámica

Ejercicio 1

El agua entra en una casa por una tubería de 2cm de diámetro con una presión de 4×105 Pa (Pascales) y una velocidad de 4m/s. La tubería desemboca en un baño 5 metros más arriba, por un tubo de 1cm de diámetro. ¿Cuál es la velocidad y la presión en el cuarto de baño?

Solución

Los datos del ejercicio son:

  • V1 = 4m/s
  • A1 = π(0,01)2 = 0,000314mPorque si el diámetro es 2cm, el radio es 1cm. Que representado en metros es 0,01m
  • A2 = π(0,005)= 0,000078m2.
  • V2 = debe calcularse
  • p1 = 4×105 Pa.
  • p2 = debe calcularse
  • h2 = 5m. Además, si no se indica otra cosa, h1 es cero.
  • Un dato que no está en el enunciado es la densidad del agua. Se asume que se conoce. Sin embargo, su valor es ρ=103Kg/m3.

La velocidad v2, puede calcularse con la ecuación  de continuidad (1).

\begin{eqnarray} v_2&=&{A_{1}v_1\over A_2}\\ v_2&=&{0,000314\times4\over0,000078}\\ v_2&=&16,1m/s \end{eqnarray}

La presión p2, se obtiene a partir de la ecuación de Bernouilli y es:

\begin{eqnarray} p_2&=&p_1-{1\over2}\rho (v_{2}^2-v_{1}^2)-\rho g(h_2-h_1)\\ p_2&=&4\times10^5-{1\over2}\times10^3(16,1^2-4^2)-10^3\times9,8(5-0)\\ p_2&=&2,3\times10^5Pa \end{eqnarray}

Es posible que en la calculadora se obtenga el resultado como 2293955. Sin embargo, llevando este número a notación científica y aproximando, se obtiene 2,3×105.

Ejercicio 2

Se hace un orificio circular de 2cm de diámetro en la pared de un gran depósito, a 10m del nivel del agua. Calcule la velocidad de salida y el caudal teórico.

Solución

Por tratarse de un depósito abierto, la velocidad de salida se calcula con la ecuación 3 y el caudal con la ecuación 4. En consecuencia, la velocidad es:

\begin{eqnarray} v_2&=&\sqrt{2gh}\\ v_2&=&\sqrt{2\times9,8\times10}\\ v_2&=&14m/s \end{eqnarray}

Por otra parte, el caudal es:

\begin{eqnarray} Q&=&A\sqrt{2gh}\\ Q&=&\pi\times0,01^2\sqrt{2\times9,8\times10}\\ Q&=&4,4\times10^{-3}m^3/s \end{eqnarray}

Ejercicio 3

Calcular la velocidad y el módulo de la fuerza de salida del aceite hidráulico contenido en un cilindro cerrado sometido a una presión de 3×105Pa. La densidad del líquido es de 800Kg/m3 y el orificio de salida tiene un área de 7×10-4 m3. Además la presión atmosférica del lugar es de 1×105Pa.

Solución

Como el depósito es cerrado, la velocidad y la fuerza se calculan con las fórmulas 6 y 7. La velocidad de salida es:

\begin{eqnarray} v_{2}&=&\sqrt{{2(p_{1}-p_{2})\over\rho}}\\ v_{2}&=&\sqrt{{2(3\times10^5-1\times10^5)\over800}}\\ v_2&=&22.3m/s \end{eqnarray}

Finalmente, el módulo de la fuerza es:

\begin{eqnarray} F&=&2A_{2}(p_{1}-p_{2})\\ F&=&2\times7\times10^{-4}(3\times10^5-1\times10^5)\\ F&=&280N \end{eqnarray}

Taller de lectura

  1. ¿Qué es la hidrodinámica?
  2. Escriba las 3 condiciones que exigen los modelos sencillos de la hidrodinámica.
  3. Escriba la ecuación de continuidad.
  4. Haga un resumen del principio de Bernouilli y, además, escriba su ecuación.
  5. Escriba la ecuación de la velocidad de salida en un depósito abierto y, además, las ecuaciones de caudal teórico y real.
  6. Copie las ecuaciones de la velocidad de salida en un depósito cerrado y, también, la ecuación de la fuerza.
  7. Copie, con los procedimiento, los ejercicios resueltos de hidrodinámica.