Ciencias naturales básicas



Dilatación lineal: coeficiente de dilatación, ejemplos y ejercicios

Dilatación lineal es la variación de la longitud de un cuerpo, como respuesta a una variación en la temperatura. Aunque cualquier cuerpo puede dilatarse, los cálculos se aplican, básicamente, a los metales. La dilatación se debe a que las partículas del cuerpo, aumentan su energía cinética cuando absorben calor. Como consecuencia, aumenta la amplitud de sus movimientos. 

El primero en trabajar con la dilatación y contracción de la materia, más concretamente de los gases, fue Gay Lussac.

Pregunta: ¿Qué longitud tiene la línea férrea que une Moscú con Leningrado?

Respuesta: En verano es unos trescientos cincuenta metros más larga que en invierno.

Esta inesperada respuesta no es tan absurda como parece.

Si admitimos que la longitud de la línea férrea es igual a la longitud total de los rieles, en verano tiene que ser, efectivamente, mayor que en invierno. No olvidemos, que los rieles, al calentarse, se alargan en algo más de una cien milésima parte de su longitud por cada grado centígrado. Ahora, si tenemos en cuenta que la temperatura varía, aproximadamente, de 30 oC en verano a -25 oC en invierno (55 oC de diferencia), La variación de la longitud será: 640 Km  x 0.00001  x 55 oC. Es decir, 0.352 Km (352 m) Para evitar de la vía se destruya al dilatarse, se deja un espacio entre los extremos de los rieles que en este caso es de 6 milímetros a 0oC.

Coeficiente de dilatación lineal

Junto a la vía férrea se extiende una línea telefónica de alambre de cobre, pero bajo las mismas condiciones de variación de temperatura, su longitud aumenta 500 metros en el verano, a diferencia de los 350 metros de los rieles de acero. Esto se debe a que cada material de dilata de manera distinta. A la proporción en la que un material se dilata se le llama coeficiente de dilatación y sus unidades son metros/grado centígrado. La tabla 1 (en la imagen) muestra los coeficientes de dilatación lineal de algunos metales.

Dilatación lineal

Si nos preguntan ahora, qué altura tiene la torre Eiffel, antes de contestar «300 metros», lo más probable es que preguntemos: — ¿Cuándo hace frío o cuándo hace calor?

Cálculo de la dilatación lineal

Para calcular la longitud que adquiere un cuerpo cuando se dilata o se contrae, se utiliza la fórmula:

L = Lo(1 + α Δt)

Donde L es la longitud final (después del cambio de temperatura), L0 es la longitud inicial,  α es el coeficiente de dilatación lineal y Δt es la variación de temperatura, que se calcula restando temperatura final menos temperatura inicial.

Ejemplo

Un alambre de plata mide 1.5 metros a 5℃. ¿Cuál será su longitud cuando la temperatura aumenta a 15℃?

Solución: 

  • temperatura final = 15℃
  • temperatura inicial =5
  • coeficiente de dilatación de la plata α = 2 x 10-5 m/℃ (según la tabla 1)
  • Lo = 1.5 m
  • Primero se calcula la variación de la temperatura. Δt = 15℃-5℃ = 10℃
  • Se aplica la fórmula L = Lo(1 + α Δt)
  • L = 1.5 m(1 + 2 x 10-5 x 10℃)
  • Se multiplica coeficiente de dilatación por temperatura. L = 1.5 m(1 + 2 x 10-4)
  • Se hace la suma del paréntesis. L = 1.5 m(1.0002)
  • Finalmente se multiplica. L = 1.5003 m
  • La longitud final es de 1.5003 metros. La longitud aumentó 3 décimas de milímetro.

Taller de lectura 1

  1. ¿Qué es dilatación lineal?
  2. ¿A qué se debe la dilatación lineal?
  3. ¿A qué se llama coeficiente de dilatación?
  4. Escriba la fórmula para calcular la longitud que adquiere un cuerpo cuando se dilata o se contrae.
  5. Realice los siguientes ejercicios:
    1. A 0℃, la altura de la torre Eiffel, hecha de hierro, es de 300 metros. ¿Cuál será su altura en verano cuando la temperatura es de 40℃? ¿Cuál es su altura en invierno cuando la temperatura es de −10℃?
    2. Calcule la longitud de un riel de acero de 8 metros a 30℃, si la temperatura desciende a −25℃.
    3. A −15℃, la longitud de una cuerda de cobre es de 30 metros. ¿Cuál será su longitud a 40℃?
    4. Una varilla de plata mide 48 cm a 13°C. ¿Cuál es su longitud si se calienta hasta 500°C?

Dilatación superficial

La dilatación superficial es la variación del área de un objeto, provocada por una variación en su temperatura. La dilatación superficial está relacionada con la dilatación lineal. Es decir, en cuerpos isótropos (aquellos que tienen el mismo coeficiente de dilatación lineal en ambas dimensiones), la fórmula de dilatación superficial es:

\[A=A_0(1+2\alpha\Delta t)\]

Donde α es el coeficiente de dilatación lineal. En otras palabras, no hace falta una tabla de coeficientes de dilatación superficial. Normalmente, el coeficiente de dilatación superficial se representa con la letra griega β. Sin embargo, basta con recordar que β=2α. En consecuencia, la fórmula de dilación superficial también puede escribirse como:

\[A=A_0(1+\beta\Delta t)\]

En sustancias anisótropas (aquellas que tienen coeficientes de dilatación lineal diferentes en direcciones diferentes), β=α12.

Ejercicios resueltos de dilatación superficial

1 – El área del espejo de pírex (un tipo de vidrio) del observatorio Monte Palomar, es de 20,26m2 a -10°C. El coeficiente de dilatación lineal de este material es 3,2×10-6. ¿Cuál es el área del espejo cuando la temperatura asciende a 50°C?

Solución:

Primero, se halla la variación de la temperatura restando temperatura final menos temperatura inicial.

\[\Delta t=t_f-t_0\]
\begin{eqnarray} \Delta t&=&50ºC-(-10ºC)\\ \Delta t&=&50ºC+10ºC\\ \end{eqnarray}
\[\Delta t=60ºC\]

Después de eso, se escribe la fórmula de dilatación superficial, se reemplazan los valores y se hacen los cálculos.

\begin{eqnarray} A&=&A_0(1+2\alpha\Delta t)\\ A&=&20,26m^2(1+2\cdot3,2\times10^{-6}\cdot60ºC)\\ A&=&20,26m^2(1+0,000384)\\ A&=&20,26m^2(1,000384)\\ A&=&20,267m^2 \end{eqnarray}

2 – Un disco plano y delgado de aluminio, con coeficiente de dilatación lineal 2,3×10-5, tiene un orificio central de 2cm de radio, cuando la temperatura es de 20°C. ¿Cuál es el radio del orificio al calentar el disco hasta 100°C?

Solución:

Si un cuerpo plano presenta un orificio, la dilatación ocurre normalmente como si este estuviera lleno del mismo material. Por lo tanto, si el área inicial del orificio es A0=πR20, entonces, el área final es A=πR2. En consecuencia, la fórmula de la dilatación puede escribirse como

\[\pi R^2=\pi R_{0}^2(1+2\alpha\Delta t)\]

En conclusión, el valor del radio es:

\[R=\sqrt{R_{0}^2(1+2\alpha\Delta t)}\]

Primero, el radio de 2cm se representa en metros y queda 0,02m. Segundo, la variación de la temperatura es 80°C.

Finalmente, se reemplazan valores y se hacen operaciones.

\begin{eqnarray} R&=&\sqrt{0,02m^2(1+2\cdot2,3\times10^{-5}\cdot80ºC)}\\ R&=&\sqrt{0,0004m^2(1+0,00368)}\\ R&=&\sqrt{0,0004m^2(1,00368)}\\ R&=&\sqrt{0,0004015m^2}\\ R&=&0,020037m \end{eqnarray}

Por lo tanto, el nuevo radio del orificio es 2,0037cm.

Taller de lectura 2

  1. ¿Qué es dilatación superficial?
  2. ¿Qué son cuerpos isótropos y anisótropos?
  3. Copie las dos formas en las que puede escribirse la fórmula de dilatación superficial.
  4. Escriba los dos ejercicios resueltos con sus procedimientos.

Dilatación volumétrica

La dilatación volumétrica es el cambio de volumen de un objeto, como consecuencia de la variación en su temperatura. La fórmula de la variación volumétrica, se obtiene por un método semejante al utilizado en la variación superficial. Por lo tanto, dicha fórmula es:

\[v=v_{0}(1+3\alpha \Delta t)\]

El coeficiente de dilatación volumétrica se representa, por lo general, con la letra griega gamma (γ) y su valor es igual a 3α. Por tanto la fórmula también puede escribirse como:

\[v=v_{0}(1+\gamma \Delta t)\]

Esta fórmula se aplica tanto a los sólidos como a los Líquidos. Sin embargo, la dilatación volumétrica de los líquidos requiere otro tipo de análisis.

3 curiosidades de la dilatación térmica
  • Cuando se calienta un recipiente, este aumenta su capacidad. El aumento de capacidad de un frasco, por ejemplo, es debida al aumento del volumen interior. Esto ocurre como si el frasco fuera macizo y todo del mismo material.
  • El invar es una aleación hecha de hierro 64% y níquel 36%. Tiene un coeficiente de dilatación volumétrica 13 veces menor que el acero. Por lo tanto, se utiliza en la construcción de piezas de alta precisión y aparatos de medición de alta tecnología.
  • El vidrio pírex se utiliza en la fabricación de recipientes y otros instrumentos de laboratorio, por su bajo coeficiente de dilatación.

Dilatación de los líquidos

Los líquidos no tienen forma definida, sino que toman la forma del recipiente que los contiene. Por lo tanto, no es importante estudiar su dilatación lineal o superficial. Sin embargo, se han establecido, experimentalmente, coeficientes de dilatación volumétrica para ellos. La tabla 1 muestra algunos ejemplos.

Sustanciacoeficiente γ en ºC-1
Alcohol etílico0,75×10-3
Glicerina0,49×10-3
Mercurio0,182×10-3
Tabla 1. Coeficiente de dilatación de 3 líquidos

Al calentar un líquido, este está contenido en un recipiente que se calienta con él. En consecuencia, la dilatación que se observa es una dilatación aparente. La dilatación real es mayor, porque a la dilatación de líquido se le suma la dilatación del recipiente. En otras palabras, si γ es el coeficiente de dilatación del recipiente y γL, es el coeficiente de dilatación de líquido, entonces, el coeficiente de dilatación real γr  es:

\[\gamma_r=\gamma_L+\gamma\]

Dilatación del agua

El agua tiene una dilatación muy irregular. Es decir, presenta coeficientes de dilatación variados en ciertos intervalos de temperatura. Por encima de 4°C, el coeficiente de dilatación es positivo y su volumen aumenta normalmente con la temperatura. sin embargo, entre 0°C y 4°C, el coeficiente de dilatación es negativo. Por lo tanto, se contrae mientras la temperatura sube hasta 4°C. A esta temperatura logra su máxima densidad. Por esta razón, en un lago profundo, el agua se mantiene cerca de esta temperatura sin llegar a congelarse. Este comportamiento es fundamental para el desarrollo y mantenimiento de la vida tal como la conocemos.

Taller de lectura 3

  1. ¿Qué es dilatación volumétrica?
  2. Copie las dos formas en que puede escribirse la fórmula de dilatación volumétrica.
  3. Escriba las 3 curiosidades de la dilatación térmica.
  4. Copie la tabla
  5. ¿Cuál es la diferencia entre dilatación aparente y dilatación real en un líquido?
  6. ¿En qué intervalos de temperatura, el coeficiente de dilatación del agua es negativo?